Дифференцируемая функция, нулевые производные...

[arqady]

Пусть функция $f$ такова, что для любого действительного $x$ существует натуральное $n$,
такое, что $f^{(n)}(x)=0$. Верно ли, что $f$ - многочлен?
Спасибо!

[ShMaxG]

arqady в сообщении #450782 писал(а):

Верно ли, что $f$ - многочлен?

Нет. Контрпример очень легко составляется.

[mihailm]

Вопрос лучше такой:
Верно ли, что f - кусочно-многочленна?)

[nnosipov]

ShMaxG в сообщении #450840 писал(а):

arqady в сообщении #450782 писал(а):

Верно ли, что $f$ - многочлен?

Нет. Контрпример очень легко составляется.

В 5-м выпуске "Математического просвещения" на стр. 225 утверждается, что верно.

[ShMaxG]

nnosipov
Там существенное условие -- бесконечная дифференцируемость, про которую здесь ничего не сказано. На склейках разных многочленов (или степенных функций) хотя бы одна производная не существует. Поэтому мой пример уже не прокатывает.

[nnosipov]

ShMaxG в сообщении #450872 писал(а):

nnosipov
Там существенное условие -- бесконечная дифференцируемость, про которую здесь ничего не сказано. На склейках разных многочленов (или степенных функций) хотя бы одна производная не существует. Поэтому мой пример уже не прокатывает.

Думается, это всё-таки подразумевалось, иначе действительно сразу банальный контрпример в виде сплайна. Подождём, что скажет сам ТС.

[Gortaur]

Приведите неаналитический пример, пожалуйста. Интересно.

[nnosipov]

Gortaur в сообщении #450974 писал(а):

Приведите неаналитический пример, пожалуйста. Интересно.

$f(x)=0$ при $x<0$ и $f(x)=x^2$ при $x \geqslant 0$.

[Gortaur]

Ага. Забыл, что $n$ может меняться, так что вообще непонятно какой пример пытался придумать.

[arqady]

mihailm в сообщении #450849 писал(а):

Вопрос лучше такой:
Верно ли, что f - кусочно-многочленна?)

Вот вот! Бесконечная дифференцируемость необязательна.