Криволинейные интегралы

[Allex]

$\int_{l}^{}(-8x+y)dx+(2y+\frac {2} {5})dy$, где l-ломаная ABC, причём $A(-1;0),B(-1;3),C(-2;5)$

Нарисовал график по точкам, $ x=-1 ,dx=0$ на BC
$\int_{l}^{}(-8x+y)dx+(2y+\frac {2} {5})dy=$

$\int_{AB}^{}(-8x+y)dx+(2y+\frac {2} {5})dy \ + \int_{BC}^{}(-8x+y)dx+(2y+\frac {2} {5})dy$
как определить ,чему у равен на BC или не нужно этого?

[Алексей К.]

Уравнение у прямой $BC$ какое?

[Allex]

$\int_{BC}^{}(-8x+y)dx+(2y+\frac {2} {5})dy$

это не оно?

[Алексей К.]

Уравнение прямой ВС у меня получилось таким: $y=-2x+1$.
У Вас написано что-то страшное.

[Allex]

Объясните пожалуйста ,почему так получилось

[Алексей К.]

Allex в сообщении #448766 писал(а):

$A(-1;0),\color{blue} B(-1;3),C(-2;5)$

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, записывается без всяких интегралов (9-й класс?). А я ещё и хочу, чтоб Вы проверили, не ошибся ли я.

[Allex]

В задании нужно вычислить криволинейный интеграл, вот я тут ещё кое-что для этого сделал

На контуре $AB: x=-1,dx=0$, $0\leq y \leq 3$

$\int_{AB}^{}(-8x+y)dx+(2y+2/5)dy= \int_{0}^{3}(2y+\frac {2} {5})dy=\frac {2y^2} {2}+\frac {2y} {5}\begin{vmatrix} 3 & \\ 0 & \end{vmatrix}$ $=9+\frac {6} {5}=10,2$

А как сделать на контуре BC не знаю, да и вообще правильно ли я делаю?
Да, вроде правильно, вспомнил 9-ый класс и ур.прямой
$y=-2x+1$

[Алексей К.]

Allex в сообщении #448969 писал(а):

А как сделать на контуре BC не знаю,

Сначала надо найти уравнение прямой BC...

[Allex]

Так у меня как раз получилось $y=-2x+1$ правильно ведь?

-- Вс май 22, 2011 22:25:27 --

Думаю дальше будет так
На контуре $BC: y=-2x+1, dy=-2,$ $-2 \leq x \leq -1$
$\int_{-2}^{-1}(-8x-2x+1)dx-2(-4x+2+\frac {2} {5})=\int_{-2}^{-1}(-10x+1)dx-2(-4x+2,4)$ Вот тут вопрос, можем ли мы убирать dy ,когда у нас есть знак интеграла, хотя у нас $dy=2$

[Алексей К.]

Allex в сообщении #448982 писал(а):

На контуре $BC: y=-2x+1, dy=-2,$ $-2 \leq x \leq -1$

Ужос! $dy$ равно чему???
Вместо Вашего последнего неравенства (про икс) я был сказал, что на прямой ВС икс меняется от $-1_B$ до $-2_C$. Это избавит меня от возможной ошибки в последующей расстановке пределов интегрирования на ВС.
Но $dy$ на этой прямой равно чему???

[Allex]

Я думал, что dy-это производная от y. Или это первообразная? Просто смотрел ещё другой пример, там y=5, а dy=0.

[Алексей К.]

Я про дифференциалы переписать учебник не смогу, лишь замечу, что если $y=ax+b$, то $dy=a\,dx$. В частности, при $a=0,\;b=5$ получим тот самый "ещё другой пример".

[Gortaur]

Если Вы интегрируете по кривой типа $y = f(x)$, то $dy = f'(x)dx$. Дело в том, что нельзя сказать, что $dy = 4x$ или $dy=2$. Это очень-очень маленькое изменение координаты, и его надо сравнивать тоже с чем-то маленьким, например с $dx$. Получается, что в Вашем случае $dy = -2dx$, потому что на этой прямой $y$ изменяется в два раза быстрее, чем $x$.

[oleg-spbu]

Allex в сообщении #450209 писал(а):

Я думал, что dy-это производная от y. Или это первообразная? Просто смотрел ещё другой пример, там y=5, а dy=0.

$y=5$,
$dy=y'(x)dx=?$

[Allex]

Подставил dy.

$\int_{-2}^{-1}((-10x+1)dx-2(-4x+2,4)dx)=\int_{-2}^{-1}(-10x+1+8x-4,8)dx=\int_{-2}^{-1}(-2x-3,8)dx=-x^2-3,8x$
Подставляя границы, получил 0,8