Формула Грина

[skayfar]

Что обозначают ф-ии P и Q в формуле Грина?

У Кудрявцева в определении звучит только:

Цитата:

... Если на замыкании области G заданы ф-ии P(x, y) и Q(x, y), непрерывные на нем вместе со своими частными производными, то имеет место ф-ла...

И все.

Т.е. что получается? Имеется некое множество G точек на плоскости. Замыкание это совокупность всех точек прикосновения, т.е., условно - объединение всех граничных и внутренних точек. На этом множестве произвольным непонятным образом заданы две ф-ии. Далее из ниоткуда выплывает неизвестно зачем нужная разность частных производных этих ф-ий под двойным интегралом, а затем эта странная штука оказывается вычисляется как криволинейный интеграл II рода...

[Sonic86]

Формулы обрамляйте долларами!

skayfar писал(а):

Что обозначают ф-ии $P$ и $Q$ в формуле Грина?

Произвольные функции двух переменных, удовлетворяющие условиям, описанным у Кудрявцева.

skayfar писал(а):

Далее из ниоткуда выплывает неизвестно зачем нужная разность частных производных этих ф-ий под двойным интегралом, а затем эта странная штука оказывается вычисляется как криволинейный интеграл II рода...

Ну вряд ли это было сделано ниоткуда. Скорее всего Грин пытался "вычислить" криволинейный интеграл первого рода в общем виде - вот оно и получилось. Читайте доказательство и прозреете. Там еще минимум 2 формулы такие будут. Формула достаточно общая и этим она важна. К примеру, я тут видел двойной интеграл, в котором область была задана как внутренность кривой $x=x(t), y=y(t)$, где $x(t),y(t)$ - периодические функции, причем $y(x)$ не выражалась. Фиг посчитаете такой интеграл без формулы Грина. А чаще бывает, что криволинейный интеграл сводят к двойному - обычно двойные интегралы проще. Наконец, наверняка есть физическая интерпретация и не зря с формулой Грина связан т.н. называемый полный дифференциал $dU$. К примеру, если Вы имеете потенциальное поле, т.е. когда $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ у Вас криволинейный интеграл из точки в точку не зависит от пути прохождения, что в физике наглядно и удобно. Например, у идеального газа полная энергия - потенциальная функция. Энтропия - тоже потенциальна.
(а еще есть аналогия с комплексными интегралами)
(надеюсь, не наврал )

[Gortaur]

Представьте себе, что $F(b) - F(a)$ это тоже интеграл по точкам $a,b$. А потом раз - и

$$ F(b) - F(a) = \int\limits_{[a,b]}F'(t)dt. $$

Здесь смущения нет? Формула Грина в некотором роде обобщает этот результат. А для произвольных диф. форм по-моему, это называется формулой Стокса.