2 задачи по гидродинамике

[Sallador]

Очень нужно, чтобы кто-нибудь помог решить следующие задачи
1. В большой бак налита вода, уровень которой поддерживается постоянным. К боковой стенке бака на расстоянии h ниже уровня воды присоединена горизонтальная труба длины l c задвижкой на конце. В момент времени t=0 задвижка мгновенно открывается и вода начинает вытекать в атмосферу. Как скорость в трубе меняется со временем?
Из уравнений Эйлера для трубы удалось получить выражение для давления в точке стыка бака и трубы. По идее надо записать уравнения для этой же точки, но как точки бака, но именно с этим у меня как раз возникли проблемы!
2. Какие дополнительные соотношения между скоростями возникают в теории вязкой жидкости, если исследуемый конечный объем имеет НЕПОДВИЖНУЮ границу?
Заранее блангодарен!

[Аурелиано Буэндиа]

Sallador писал(а):

Из уравнений Эйлера для трубы удалось получить выражение для давления в точке стыка бака и трубы. По идее надо записать уравнения для этой же точки, но как точки бака, но именно с этим у меня как раз возникли проблемы

А уравнение Бернули смотрели? Давление жидкости $P=\rho g h$

[Sallador]

Пробовал, но тогда получается, что скорость в трубе меняется линейно по времени. А в ответе почеиму-то фигурирует гиперболический тангенс. В общем там еще что-то надо учесть!

[Аурелиано Буэндиа]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

гиперболический тангенс

А если использовать формулу Пуазейля ?

$$v=\frac{R^2\triangle p}{8\eta l} $$

[Sallador]

Не поможет. В этой задаче жидкость считается идеальной. В принципе можно записать уравнения Эйлера для приграничного слоя бака и получить еще одно выражение для давления в стыковой точке. Но тогда, чтобы замкнуть систему, нужнно еще одно уравнение связывающее скорость на приграничном слое со скоростью жидкости в трубе! Где его взять, пока не знаю!

[Аурелиано Буэндиа]

Sallador писал(а):

Не поможет. В этой задаче жидкость считается идеальной

А не могли бы Вы привести ответ?

[Sallador]

C LaTexom пока проблемы. Поэтому напишу в несколько неудобной форме -
v(t)=sqrt(2gh)*th(t*sqrt(gh/2)/l)

[Sallador]

Ура! Первую задачу я наконец решил! Чтобы получить нужное дифф. уравнение надо было всего лишь записать интеграл Коши-Лагранжа для двух точек свободной поверхности. А вот со второй все еще маюсь...

[LynxGAV]

Sallador писал(а):

2. Какие дополнительные соотношения между скоростями возникают в теории вязкой жидкости, если исследуемый конечный объем имеет НЕПОДВИЖНУЮ границу?

Не совсем поняла формулировку. Эта задача к первой не имеет никакого отношения?
Может быть, надо просто записать гран. условия для вязкой жидкости?

Жидкость не может втекать и вытекать через стенку: $\vec V \vec f |_f = 0$ и $\vec V_{tg}|_f = 0$ (т.е. $\vec V|_f = 0$, где $\vec f$ -- нормаль). Жидкость вязкая, т.е. на границе со стенкой должна "прилипнуть".

[Станислав Радионов]

Здравствуйте. Не могли бы вы теперь мне пояснить, как решать первую задачу?

Цитата:

Чтобы получить нужное дифф. уравнение надо было всего лишь записать интеграл Коши-Лагранжа для двух точек свободной поверхности

К своему стыду признаюсь, что решения я все равно не вижу.

[Someone]

Sallador в сообщении #45083 писал(а):

v(t)=sqrt(2gh)*th(t*sqrt(gh/2)/l)

Ну какие могут быть проблемы с \LaTeXом для таких формул? Окружаем её знаками доллара и смотрим: $v(t)=sqrt(2gh)*th(t*sqrt(gh/2)/l)$.

Исправляем:

$$v(t)=\sqrt{2gh}\cdot\th\left(t\frac{\sqrt{\frac{gh}2}}l\right)$$

.

$$v(t)=\sqrt{2gh}\cdot\th\left(t\frac{\sqrt{\frac{gh}2}}l\right)$$

Как-то чересчур громоздко. Чуть преобразуем:

$$v(t)=\sqrt{2gh}\cdot\th\left(\frac tl{\sqrt{\frac{gh}2}}\right)$$

$$v(t)=\sqrt{2gh}\cdot\th\left(\frac tl{\sqrt{\frac{gh}2}}\right)$$

[Станислав Радионов]

Это, конечно, очень интересно, но, может, кто-нибудь может подсказать, что делать в этой задаче?

[Zai]

Жидкость в трубе не сразу ускорится. Уравнение движения жидкости в трубе
$m \dot V= (\rho gh- \rho\frac {V^2} 2)S
$\rho Sl \dot V= (\rho gh- \rho\frac {V^2} 2)S
$2l \dot V+ {V^2}= 2gh
Решая это уравнение с начальным условием $V(0)=0 должны получить Ваш ответ.

[Станислав Радионов]

Так, ясно... А это стандартная формула для движения в трубе?

[Zai]

Ускоренное движение жидкости в трубопроводах описывается подобными подходами в гидравлических системах. Насколько они стандартны мне неизвестно.