уравнение в частных производных

[Non80]

Здравствуйте! С уравнениями в частных производных имею дело не часто, поэтому хотел бы попросить совет. Подскажите, имеет ли смысл искать аналитическое решение уравнения $ U(x,t)_t=-aU(x,t)_x_x+b(1-\frac{cU(x_0,t)}{d-cU(x_0,t)})U(x,t)_x$ или же решать численно исходя из начальных и граничных условий? С наскока разделить переменные не удалось. Заранее спасибо!

[Kallikanzarid]

А через ряд Фурье?

[Oleg Zubelevich]

это не дифференциальное уравнение, а функционально-дифференциальное, похоже на обратную теплопроводность, даже интересно при каких это гран. условиях такая задача будет корректной

[sup]

Ну прямая или обратная теплопроводность, это еще не беда. Задача толком не поставлена. На каком интервале по $x$, где задаются данные по $t$ и каков, разумеется, знак $a$. Ну а нелинейность не выглядит уж очень страшной. Но, все таки, сначала надо "нормально" сформулировать задачу. На существование "аналитического" решения я бы не расчитывал. Но в принципе, решать ее можно следующим образом.
Пусть $-\infty < x < \infty$, $a<0$, $u(x,0)=u_0(x)$. Пусть $U(x,t)$ решение задачи

$U_t+aU_{xx}=0$
$U(x,0)=u_0(x)$

Тогда

$u(x,t)=U(x+F(t),t)$, где $F(t)=\int \limits_0^t b(1-\frac{cv(s)}{d-cv(s)})ds \, ,v(t)=u(x_0,t)$
Отсюда
$v(t)=U(x_0+F(t),t)$
Ну а это уравнение можно свести к "дифференциальному" (просто продифференцировав по $t$)

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #449113 писал(а):

Ну прямая или обратная теплопроводность, это еще не беда.

а почему Вы тогда сразу кладете $a<0$?

[sup]

Что то сразу и не заметил. Можно рассматривать это уравнение относительно $F$, поскольку
$F'(t)=b(1-\frac {cv(t)}{d-cv(t)})=b(1-\frac {cU(x_0+F(t),t)}{d-cU(x_0+F(t),t)})$

Oleg Zubelevich
Да это я так, для примера: $a<0, t>0$. Мы же не знаем, какая на самом деле задача у ТС.

[Oleg Zubelevich]

если это только для примера, то может теперь рассмотрите случай $t,a>0$?

[sup]

И что же Вас так "пугает"? Всего то навсего, задаете данные не при $t=0$, а при $t=T, \, T>0$. Тот самый случай обратной парболичности. Данные задаются на другом конце интервала.

[Oleg Zubelevich]

при $a<0,t>0$ и стандартных для параболических задач начальных \краевых условиях, локальная по времени теорема существования следуе практически сразу из принципа сжатых отображений. Надо только отслеживать чтоб знаменатель в ноль не обратился

-- Пн май 23, 2011 08:50:30 --

sup в сообщении #449119 писал(а):

И что же Вас так "пугает"? Всего то навсего, задаете данные не при $t=0$, а при $t=T, \, T>0$

и решайте назад по $t$? По-моему проще сказать, что задача обратной теплопроводности вообще говоря решений не имеет и задачи там ставятся совершенно иначе, а насчет

sup в сообщении #449113 писал(а):

обратная теплопроводность, это еще не беда

Вы просто слегка погорячились

[sup]

Не очень понимаю, что Вас так "раззадорило". Сделайте замену $t=-\tau$ и получите столь желаемую Вами прямую параболичность. Еще раз повторю, мы НЕ ЗНАЕМ какая задача у ТС. Можем лишь строить гипотезы.
"Позвольте процитировать самого себя" $\copyright$

(Оффтоп)

Приписывается Л.И. Брежневу

Цитата:

Ну прямая или обратная теплопроводность, это еще не беда. Задача толком не поставлена. На каком интервале по $x$, где задаются данные по $t$ и каков, разумеется, знак $a$.... сначала надо "нормально" сформулировать задачу.

[Non80]

Извините за длительное отсутствие! Это действительно диффузионная задача с потоком под действием сил. $0<x<l; 0<t<T; a,b,c,d$ - положительны.

-- Ср май 25, 2011 23:15:31 --

sup в сообщении #449116 писал(а):

Что то сразу и не заметил. Можно рассматривать это уравнение относительно $F$, поскольку
$F'(t)=b(1-\frac {cv(t)}{d-cv(t)})=b(1-\frac {cU(x_0+F(t),t)}{d-cU(x_0+F(t),t)})$

Извините за неразбериху, надо было немного не так обозначить $x_0$ - это просто фиксированное значение на интервале $0<x_0<<l$.
Я все равно, что-то сразу не понял как это у вас так получается, но спасибо, буду думать!

[Gortaur]

Тут уже отписалось два мэтра - и вопрос к ним. Что в этом уравнении функционально-дифференциального? $U(x_0,t)$ вполне может быть заданной граничной функцией. Автору поста вопрос - какие условия начальные/граничные?

[Non80]

Gortaur в сообщении #450246 писал(а):

Тут уже отписалось два мэтра - и вопрос к ним. Что в этом уравнении функционально-дифференциального? $U(x_0,t)$ вполне может быть заданной граничной функцией. Автору поста вопрос - какие условия начальные/граничные?

В общем, все стандартно, никакой оригинальности:
$U(x,0)=U_0; 0 \leqslant x \leqslant l$
$U(0,t)=U(l,t)=0; 0 \leqslant t \leqslant T$

[sup]

Да уж. У Вас проблемы. Вы не заметили, до этого была некая дискуссия насчет знака $a$ и " ... где заданы условия по $t$ ...". Если Вы ничего не напутали, то у Вас уравнение теплопроводности с "обратным направлением времени". Ну, грубо говоря
$u_t $ + $u_{xx}=f$
$u(x,0)=u_0(x)$
В этом случае ни на какое решение Вашей задачи расчитывать не приходится. Простой пример.
Стержень известным образом нагрели и хотят узнать, что с ним будет через пару минут (прямое направление времени).Это "хорошая" задача.
Как нагреть стержень, чтобы через пару минут у него было заданное распределение температуры (обратное направление времени). Это "плохая" задача.
Может все-таки у Вас не

$u_t = -a u_{xx}...$
а

$u_t - a u_{xx}=...$
В этом случае можно дальше обсуждать подходы к решению Вашей задачи.

[Non80]

sup в сообщении #450326 писал(а):

Да уж. У Вас проблемы. Вы не заметили, до этого была некая дискуссия насчет знака $a$ и " ... где заданы условия по $t$ ...". Если Вы ничего не напутали, то у Вас уравнение теплопроводности с "обратным направлением времени". Ну, грубо говоря
$u_t $ + $u_{xx}=f$
$u(x,0)=u_0(x)$
В этом случае ни на какое решение Вашей задачи расчитывать не приходится. Простой пример.
Стержень известным образом нагрели и хотят узнать, что с ним будет через пару минут (прямое направление времени).Это "хорошая" задача.
Как нагреть стержень, чтобы через пару минут у него было заданное распределение температуры (обратное направление времени). Это "плохая" задача.
Может все-таки у Вас не

$u_t = -a u_{xx}...$
а

$u_t - a u_{xx}=...$
В этом случае можно дальше обсуждать подходы к решению Вашей задачи.

Вы меня извините, я не математик. Предыдущую дискуссию, конечно же, заметил.
Если Вы сойдетесь на мнении о невозможности решения, значит буду пытаться решать численно исходя из известных данных.
Вы немного не так представили начальные условия - $u(x,0)=u_0$, не зависящее от координат.
Все равно спасибо за ответы!