Функциональный анализ

[Trius]

Как найти расстояние от элемента y до подпространства L в таких случаях:
1) $y(t)=e^t, L= $л.о$ \{1,t,t^2\} $в $ L_2([-1,1])$
2) $y(t)=t^3, L= $л.о$ \{1,t,t^2\}$ в $ L_2([0,1])$
3) $y(t)=1, L= $л.о$ \{1_{[0,2]},1_{[1,3]}\}$ в $ L_2([0,5])$ ?
Есть ли какой-то способ, кроме ортогонализации и использования минимального свойства коэффициентов Фурье?

[MaximVD]

Конечно есть - решать в лоб оптимизационную задачу. Вам требуется найти $\min\limits_{ x \in L } \| y - x \|$ - это расстояние от элемента до подпространства. Если у вас подпространство $L$ - это линейная оболочка элементов $e_1, \ldots, e_k$, то любой элемент $x \in L$ имеет вид

$$ x = \alpha_1 e_1 + \ldots + \alpha_k e_k. $$

Поэтому исходная задача сводится к следующей задаче оптимизации: найти $\min\limits_{\alpha_1, \ldots, \alpha_k \in \mathbb{R}} \| y - \alpha_1 e_1 - \ldots - \alpha_k e_k \|$.
Только иногда с помощью свойств частичных сумм и коэффициентов ряда Фурье решать такие задачи проще.

Если всё-таки будет решать описанным выше образом, то помните - можно искать минимум не нормы, а её квадрата. Это эквивалентная задача.

[Trius]

Спасибо)

Для каких ЛНП существует линейный непрерывный функционал $f$ такой, что $Ker f={0}$ ?
Вообще не понимаю с какой стороны подступиться.

[ewert]

Для одномерных. Если пространство не менее чем двумерно, то просто рассмотрите $f(x\vec e_1+y\vec e_2)$ для любых двух линейно независимых $\vec e_1,\vec e_2$.

[Trius]

Как найти норму оператора $ (Ax)(t)=\int\limits_{0} ^{2\pi} sin(t+51s)x(s)ds , x \in L_2(0,2\pi)$ ?

[ewert]

Разложить синус по формуле синуса суммы -- получится оператор ранга два.

[Trius]

И что это дает?

[ewert]

Много чего. Уж норму матрицы два на два-то посчитать можно?...

А там, кроме того, обе пары функций -- как на входе, так и на выходе -- окажутся ортогональными. Т.е. оператор представляется явным образом в виде произведения изометрического и самосопряжённого (и даже, с точностью до множителя, двух изометрических), так что всё совсем просто.