Функциональные ряды

[ChaosProcess]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x) + \sum\limits_{n=1}^{\infty} g_n(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (f_n(x)+g_n(x))$
Какие условия накладываются на $f_n$ и $g_n$, чтобы равенство было верным?
Аналогичный вопрос по равенству $g(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x)g(x)$

[Someone]

ChaosProcess в сообщении #447267 писал(а):

Функциональные ряды Сообщение Ср май 18, 2011 18:30:24
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x) + \sum\limits_{n=1}^{\infty} g_n(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (f_n(x)+g_n(x))$
Какие условия накладываются на $f_n$ и $g_n$, чтобы равенство было верным?

Оба ряда в левой части должны сходиться в точке $x$.

ChaosProcess в сообщении #447267 писал(а):

Аналогичный вопрос по равенству $g(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x)g(x)$

Ряд в левой части должен сходиться в точке $x$, $g(x)$ должно быть определено.

Или Вы не о поточечной сходимости?

[ChaosProcess]

Я тоже так думал, мне сказали, что этого недостаточно. Типа можно подобрать контрпример. Не понимаю, где подвох.

[Someone]

Более точно вопрос сформулировать можно?

Есть легко доказываемые свойства числовых рядов:
1) Если ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ сходятся, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$ тоже сходится, и выполняется равенство $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n+\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$.
2) Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, $c$ - любое число, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ca_n$ тоже сходится, и выполняется равенство $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ca_n=c\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$.

Фиксируя точку $x$ в Ваших рядах, получим обычные числовые ряды ($a_n=f_n(x)$, $b_n=g_n(x)$, $c=g(x)$), поэтому, если речь идёт о сходимости в точке $x$, то эти свойства применимы.
Если речь идёт о чём-то другом, то вопрос требует уточнения.

[ChaosProcess]

Ок, лучше расскажу всю задачу.
Доказать, что если две непрерывных $2\pi$-периодичных функции имеют одинаковые коэффициенты Фурье, то эти функции тождественно равны.
Как делал: вначале сказал, что у функции $(f(x)-g(x))$, также непрерывной и периодичной, разложение в ряд Фурье будет представлять тождественный 0(в силу свойства, описанного в первом посте).
Потом я применяю к функции разности равенство Парсеваля и, в силу нулевых коэффициентов получаю следующий интеграл:
$\int\limits_{-\pi}^{\pi} (f(x)-g(x))^2 dx=0$ Откуда в силу непрерывности подынтегральной функции следует $f(x)=g(x)$. Из всего доказательства вопросы вызвала правомерность утверждения о нулевых коэффициентов $(f(x)-g(x))$.
Что не так?

[Someone]

ChaosProcess в сообщении #447330 писал(а):

Из всего доказательства вопросы вызвала правомерность утверждения о нулевых коэффициентов $(f(x)-g(x))$.

Напишите формулы для коэффициентов функции $f(x)-g(x)$ и сошлитесь на свойства интеграла.

[ChaosProcess]

Someone в сообщении #447350 писал(а):

Напишите формулы для коэффициентов функции и сошлитесь на свойства интеграла.

Да, так можно сделать.
Только от меня все равно теперь не отвянут с вопросами выше
Кроме того, вопрос о втаскивании функции под знак суммы все еще в силе.