Критерий Михайлова

[tomsoier]

Добрый день, помогите с выполнением следующего задания:

Investigate the zero solution for stability using the Mikhailov criterion

$y^{V}(x)+3y^{IV}(x)+2y'''(x)+y''(x)+3y'(x)+2y=0$

Согласно примеру в сборнике задач Филиппова:
1) Составляю многочлены:
$p(\zeta)=a_n-a_{n-2}\zeta+a_{n-4}\zeta^2-\dots$
$q(\eta)=a_{n-1}-a_{n-3}\eta+a_{n-5}\eta^2-\dots$
и нахожу их корни:

$p(\zeta)=2-\zeta+3\zeta^2$
$\zeta_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{-23}}2$
$q(\eta)=3-4\eta+\eta_2$
$\eta_{1}=1$ $\eta_{2}=3$

$a_n a_{n-1}>0$ Но что можно сказать про корни, выполняется ли условие $0<\zeta_1<\eta_1<\zeta_2<\eta_2$ ??? Т.к. корни не сравнимы что можно сказать о решении? Неустойчиво ли оно?

Буду рад советам и объяснениям!

[Sonic86]

Если я ничего не забыл, то для устойчивости рассматриваются $\text{Re} (\zeta)$ - действительная часть корня дает коэффициент в экспоненте, что важно, а мнимая часть корня - коэффициент в синусе, что для устойчивости неважно.

[ewert]

tomsoier в сообщении #446078 писал(а):

Т.к. корни не сравнимы что можно сказать о решении? Неустойчиво ли оно?

По критерию Михайлова -- корни обоих многочленов Михайлова должны быть именно вещественны, и только при этом условии есть смысл дальше их сравнивать. Если же не вещественны -- сливай воду немедленно.

(Критерий Михайлова основан на довольно элементарной идее: корни должны быть вещественными и правильно чередоваться -- так, чтобы траектория значений исходного полинома при движении его аргумента вдоль мнимой полуоси вот именно что обвивалась нужное количество раз вокруг начала координат; а иначе, в соответствии с принципом аргумента, мы достаточного количества корней в левой полуплоскости никак не получим.)

[tomsoier]

Цитата:

Если же не вещественны -- сливай воду немедленно.

Не совсем понял про воду? Как обосновать? Т.е. т.к. корни многочлена являются комплексными, то решение неустойчиво??? Не могу формулиовку подобрать.

[Tlalok]

Комлексные корни многочленов вообще не рассматриваются.
Более того даже отрицательные корни не рассматриваются.
Советую Вам почитать книжку
Краснов, Киселев, Макаренко ТФКП, Операционное исчисление, Теория устойчивости. 1971 г. с. 195. Очень просто написано.
http://reslib.com/book/Funkcii_kompleksnogo_peremennogo__Operacionnoe_ischislenie__Teoriya_ustojchivosti__Nauka_

[ewert]

Критерий Михайлова существует в двух эквивалентных формулировках.

1. Характеристический многочлен $P(z)$ устойчив тогда и только тогда, когда $P(i\omega)$ (интерпретируемый как вектор на комплексной плоскости) при изменении $\omega$ от нуля до плюс бесконечности делает поворот на угол ровно $\dfrac{n\pi}{2}$ против часовой стрелки.

2. Характеристический многочлен $P(z)$ устойчив тогда и только тогда, когда у корней многочленов Михайлова $p(t)$ и $q(t)$ все корни простые, вещественные, положительные и чередуются вот ровно так, как у Вас написано. (Т.е. если хоть одно из этих условий нарушается -- устойчивости нет.)

Первая формулировка -- это следствие принципа аргумента (с очень небольшими дополнительными обоснованиями).
Вторая формулировка достаточно очевидно сводится к первой, поскольку $p(\omega^2)$ и $\omega\,q(\omega^2)$ -- это вещественная и мнимая части $P(i\omega)$, и эта точка сможет набрать требуемое количество четвертьоборотов, лишь поочерёдно пересекая вещественные и мнимые полуоси необходимое количество раз.

Вы пытаетесь использовать вторую формулировку. Ну так надо просто её помнить, только в полном виде.