Без калькулятора

[Capella]

Вот ещё одна простая, но прикольная задачка. Найдите и докажите какое число больше, не пользуясь калькулятором, компьютером и не высчитывая вручную.

$$\frac{7777776}{7777779}$$

или

$$\frac{7777777}{7777780}$$

[juna]

Пусть $x=7777776$
Предположим, $\frac{x}{x+3}<\frac{x+1}{x+4}$
$x^2+4x<x^2+4x+3$ - верно
Следовательно, $\frac{7777776}{7777779}<\frac{7777777}{7777780}$

[Руст]

Зачем так сложно. Ведь функция $f(x)=\frac{x}{x+a}=1-\frac{a}{x+a}$ растущая при a>0, следовательно f(77777777)>f(7777776).

[Someone]

$7777776\cdot 7777780=7777778^2-2^2<7777778^2-1^2=7777777\cdot 7777779$, поэтому $\frac{7777776}{7777779}<\frac{7777777}{7777780}$. И не надо ничего знать про функции.

[Capella]

гуд, тогда ещё одна очень простенькая задачка.

Покажите, что сумма

$$4n^3 + 6n^2 + 4n +1$$

не будет равной простому числу для любого

$$n \in \mathbb{N}$$

[ИСН]

Это разность (n+1)^4-n^4, и, as such, разваливается на произведение разности квадратов и суммы квадратов, т.е. (1+2n)(1+2n+2n^2).