non-compact form?

[Bulinator]

Читаю статью Peter Breitenlohner, Dieter Maison , and Gary Gibbons "4-Dimensional Black Holes from Kaluza-Klein Theories",Commun. Math. Phys. 120, 295-333 (1988)

Параграф начинается так:

Цитата:

Let $G$ be a non-compact real form of some compact Lie group. There is an involutive automorphism $\tau:G\to G, \tau^2= 1$ such that

$$H=\{h\in G:\tau(h)=h\}$$

is the maximal compact subgroup of $G$ and the coset space $G/H$ is a non-compact Riemannian symmetric space [30, 31, 56].

Объясните, пожалуйста, что значит "форма группы Ли" вообще и "некомпактная форма" в частности.

[Bulinator]

Никто не знает?

[type2b]

Афтары криво выражаются, или там опечатка. Правильно ``non-compact real form of some COMPLEX Lie group'', т.е. некомпактная вещественная форма какой-то комплексной группы. Как известно, неабелева комплексная группа не может быть компактной. У комплексной группы есть разные вещественные формы (т.е. такие вещественные группы, от которых она комплексификация). Пример: вещественными формами комплексной группы $SL(2,\mathbb{C})$ являются $SU(2)$ и $SL(2,\mathbb{R})$. Первая из них компактна, а вторая -- нет. Т.е. в Вашем примере вместо $G$ можно подставить, скажем, $SL(2,\mathbb{R})$.

Я не знаю, что это за автоморфизм, надо посмотреть ссылки, но есть версия. Если они имеют ввиду split real form, т.е. в которой обычный картановский базис является вещественным базисом, то там есть такой автоморфизм Картана (см. википедию), который в алгебре действует более-менее минус-транспонированием, его стационарная подалгебра соответственно натянута на элементы $e_\alpha-e_{-\alpha}$, где $e_\alpha$ -- элементы базиса Картана-Вейля, соответствующие положительному корню $\alpha$. Эта подалгебра генерирует как раз максимальную компактную подгруппу, и по ней-то они и факторизуют. Например, для $SL(2,\mathbb{R})$ эта подгруппа есть $2\times 2$ ортогональные матрицы, а факторпространство -- симметричные вещественные матрицы с единичным детерминантом (не группа!).

[Bulinator]

type2b в сообщении #429361 писал(а):

т.е. такие вещественные группы, от которых она комплексификация

type2b,
большое спасибо. А я все время думал о внешних (дифференциальных) формах и никак не мог взять толк: что за форма на группе?

[Bulinator]

Разобрался. Видимо, имелось ввиду следующее. Пусть имеется какая-нибудь компактная группа Ли. Она определена на вещественном поле, ибо компактна. Далее, рассмотрим эту группу на поле комплексных чисел. Эта новая группа является некомпактной и, как единственную копактную форму, содеержит нашу исходную группу Ли. Остальные же вещественные формы некомпактны. Берем одну из них.
Пример: рассмотрим группу Ли $SU(2)$. Если рассматривать ее на комплексном поле, получим $SL(2,\mathbb{C})$. А эта штука, например, имеет некомпактную вещественную форму $SL(2,\mathbb{R})$.

(Оффтоп)

Ссылки указывают на классику:
30. Helgason, S.: Differential geometry and symmetric spaces. New York: Academic Press 1962
31. Kobayashi, S., Nomizu, K.: Foundations of differential geometry. New York: Interscience
1969
56. Gilmore, R.: Lie groups, Lie algebras and their applications. New York: Wiley 1974

[type2b]

ну да, просто обычно так не выражаются.

[Bulinator]

type2b,
а где можно про этот автоморфизм Картана почитать? Я полистал книжку по алгебре, которую Вы когда-то рекоммендовали (Cahn) и не нашел. В Википедии тоже нет.

-- Чт май 12, 2011 20:07:00 --

Желательно хорошую книжку. Чем меньше похожую на Желобенко, тем лучше

[type2b]

А там особо не про что читать.
Пусть $\mathfrak{g}$ -- комплексная алгебра Ли, пусть базис Шевалле составлен векторами $h_\alpha, e^\pm_\beta$, где $\alpha$ пробегает простые корни, $\beta$ -- все положительные корни. Инволюция Картана $\varphi$ -- это линейный автоморфизм, который по определению действует как $\varphi(h_\alpha)=-h_\alpha$, $\varphi(e^\pm_\beta)=-e^\mp_\beta$. Например, в случае $SL(n)$ в стандартном базисе это транспонирование с минусом. Очевидно, $\varphi^2={\bf 1}$.
Пусть также $\sigma$ -- антилинейная инволюция (a.k.a. комплексное сопряжение). Пусть наш базис относительно нее вещественен (как обычный $SL(n)$ базис относительно обычного комплексного сопряжения).
Инвариантная подалгебра $\sigma$ -- это split real form, т.е. просто real span of the Chevalley basis. Т.к. в chevalley basis структурные константы вещественны, то это действительно вещественная форма. Пример: $SL(n,\mathbb{R})$.
Инвариантная подалгебра $\varphi\sigma$ -- это real span of $i h_\alpha, i (e^+_\beta+e^-_\beta), e^+_\beta-e^-_\beta$. Это компактная подалгебра. Соответствующая группа -- компактная real form. Если без заумных слов, то $\varphi\sigma$ для $SL(n)$ это просто минус-эрмитово сопряжение, поэтому мы выбираем для компактной формы ровно антиэрмитовы матрицы, что и требуется для унитарных представлений (для компактной алгебры они унитарны).
В цитате, которую Вы приводите, $\tau$ определено для вещественной группы, но это тоже, я думаю, просто $\sigma\varphi$, т.е. в представлениях просто эрмитово сопряжение с минусом. Отбирая антиэрмитовы матрицы, получаем унитарные представления, т.е. компактную подгруппу/подалгебру, как-то так, подумайте сами. Вообще, мне верить нельзя :)
А заглянуть можете в wikipedia "Cartan decomposition" и в Fulton Harris sec.26.1. В википедии еще ссылка какая-то есть.
Кстати, на будущее, еще хорошее введение в алгебры есть в книжке di Francesco, Mathieu, Senechal по CFT (ака желтый кирпич).

[Bulinator]

type2b,
большое спасибо.
А базис Шевалле это тот же базис Картана-Вейля?

[type2b]

Не знаю, насколько это общепринятые определения, но у диФранческо эти два базиса отличаются определением картановских генераторов. Более-менее в одном они дуальны к корням, а в другом совпадают с кокорнями, т.е. отличаются типа умножением на матрицу картана. См. eq. 13.11, 13.37 и 13.36.
Для того, о чем я говорил, эта разница несущественна.