Найти поток ротора вектора через поверхность...

[Stotch]

Скажите пожалуйста правильно ли я начал делать
Найти поток ротора вектора $a=xyi+xj+ck$ (c=const) через внешнюю сторону параболоида вращения $z=1-x^2-y^2$, отсеченного плоскостью $z=0$
Вот переходим по формуле Остроградского к

$$\int\int\int_V y dxdydz$$

А потом просто посчитать его?

[ewert]

Stotch в сообщении #444802 писал(а):

Вот переходим по формуле Остроградского к

$$\int\int\int_V y dxdydz$$

А потом просто посчитать его?

Откуда Вы вообще этот нищастный игрек взяли?...

Вас же просили ротор, а никакую не дивергенцию.

Ротор же к Остроградскому никакого отношения не имеет.

[svv]

Так как $\operatorname{div} \operatorname{rot} a = 0$, то по теореме Гаусса-Остроградского поток $\operatorname{rot} a$ через замкнутую поверхность равен нулю. А тогда поток $\operatorname{rot} a$ через параболоид равен минус потоку через часть плоскости $z=0$, для которой $x^2+y^2\leqslant 1$ (донышко). Второе вычислять проще.

[Stotch]

evert,в демидовиче написано что поток ищется по ф-ле Остроградского где под тройным интегралом дивиргенция div(a)
Разве не так?

[svv]

Поток через замкнутую поверхность можно вычислять и так. А у Вас замкнутая?

[Stotch]

По-моему нет ведь там будет парабола уходить бесконечно вниз,так??тогда нельзя по ф-ле отсроградского?а как тогда делать?

[ewert]

Stotch в сообщении #444842 писал(а):

а как тогда делать?

да делайте, как svv предлагал. Вычитайте из полного интеграла (по всему объёму, т.е равного нулю) поверхностный интеграл по плоскому днищу. Но -- ротор Вам придётся-таки найти, тут уж извините.

(Хотя можно, конечно, и безо всякого ротора, а по формуле Стокса, но это сложнее выйдет.)

[Stotch]

А,те сначала нужно найти ротор вектора a,там по формуле через определитель,а потом уже от этого считать поток??

[Stotch]

А ротор равен (1-x)i?

[Dan B-Yallay]

Неверно. Как Вы это посчитали?

[Stotch]

В википедии есть формула для ротора
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0% ... 0%BA%D0%B0)
вот по ней получилось так

[Dan B-Yallay]

По этой же формуле у меня получается другое.
Сверимся?

$$ \operatorname{rot}\;(xy \mathbf i + x\mathbf j + c \mathbf k)= \left(\frac{\partial c}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}\right) \mathbf i+ \left(\frac{\partial (xy)}{\partial z} - \frac{\partial c}{\partial x}\right) \mathbf j+ \left(\frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial xy}{\partial y}\right) \mathbf k. $$

Хоть убей, но при компоненте $\mathbf i$ у меня получается 0.

[Stotch]

ой напутал там (1-x)k так будет?а потом от этого надо пдсчитать поток по ф-ле

$$\int\int a=\int\int\int div(a)$$

? так?

[Dan B-Yallay]

Stotch в сообщении #444933 писал(а):

ой напутал там (1-x)k так будет?а потом от этого надо пдсчитать поток по ф-ле

$$\int\int a=\int\int\int div(a)$$

? так?

Сдался Вам этот интеграл по обьёму...
Вам изначально что надо было?

Цитата:

Найти поток ротора вектора ...через внешнюю сторону параболоида вращения

Затем Вам дали подсказку:

svv писал(а):

поток $\operatorname{rot} a$ через параболоид равен минус потоку через часть плоскости $z=0$, для которой $x^2+y^2\leqslant 1$ (донышко). Второе вычислять проще.

Вот и считайте этот ротор, проходящий через "донышко"

$$\iint\limits_{\text{paraboloid}}\text{rot}=-\iint\limits_{\text{dno}}\text{rot}$$

[Stotch]

Т.е правильно ли я понимаю нужно найти -$\int\int_S (1-x)dxdy$ где s это вот эта окружность??