Динамическая ТУ ( с.ч. попереч. и продол. колеб.)

[Sintanial]

Ребят подскажите не знаю даже с чего начать:
Вот дан такой рисунок. Сечение по высоте увеличивается как показано на рисунке, а ширина остаётся неизменной

Мне необходимо : Оценить сверху две первые собственные частоты поперечных колебаний..... я без понятия с чего начинать

[Андрей123]

Ну для начала выпишите уравнение колебаний и граничные условия.

[Sintanial]

эмм а скажите пожалуйста где про это почитать можно ? =)

[Андрей123]

Наверное, в любой книге по МДТТ или сопромату. Например, у Работнова. У вас же простая балка.

[Sintanial]

Хотелось бы восстановить проблему для обсуждения.
Уравнения колебаний выглядят так : $\sigma_{ij,j}=-\rho\omega^2u_i$
Граничные условия : $u_i\bigg|_{x_1=0;x_1=l}=0; u_{i,j}\bigg|_{x_1=0;x_1=l}=0$
$u_i=u_i(x_1,x_2)$
$\sigma_{ij,j}=\sigma_{ij,j}(x_1,x_2)$

как мне быть дальше ?

И почему вы сказали что это балка ? Почему это не может быть пластина ?? =) !

[Zai]

Цитата:

Оценить сверху две первые собственные частоты поперечных колебаний

Попробуйте найдти решение для пластины $a=b$. Первые две собственные частоты будут больше чем в исходной геометрии.

[Sintanial]

я всё таки решил рассматривать как балку переменного сечения. Для неё выписал законы по которым изменяется площадь
$A(x)=a\left ((a-b)\dfrac{x}{l}+b\right)$
погонная масса изменяется по закону:
$\mu(x)=A(x)\dfrac{\gamma}{g}$ , где $\gamma$- удельный вес
И выражения для момента инерции :
$J(x)=\dfrac{2a}{3}\left(\dfrac{a-b}{2}\dfrac{x}{l}+\dfrac{b}{2}\right)$
Используем метод Ритца:
Граничные условия : $\varphi(0)=\varphi(l)=\varphi'(0)=\varphi'(l)=0$

Как подобрать функцию которая удовлетворяет только геометрически краевым условиям?

Я выбрал её в таком виде : $\varphi(x)=\sum \limits_{i=0}^{\infinity}\alpha_i\varphi_i(x)$
где базисные функции выбраны мной в таком виде: $\varphi_i(x)=\left(1-\dfrac{x}{l}\right)^2\dfrac{x^{i+1}}{l^{i+1}}$
Вроде как это функция удовлетворяет мои краевым(граничным) условиям, но я всё таки не уверен правильно ли я сделал ?

[Zai]

Момент инерции неверено записан
$I(x)=E a \frac {(b+(a-b)\frac x L)^3} {12}$
Базисные функции лучше брать симметричными относительно середины. Ваши косоваты. Что будет с их ортогональностью?
Правильно или нет - сравните с аналаитическим решением для пластины постоянных геометрических размеров

[Андрей123]

Базисные функции лучше искать, подставляя полученный ряд в исходное уравнение. В итоге для каждого члена ряда получится свое ОДУ с граничными условиями. Решая его, и найдем вид функций. Судя по всему, они должны получиться тригонометрическими.

[RatiborGeometric]

Может для того, чтобы примерно оценить первые 2 частоты можно разбить балку на три части, назначить 2 узла на $\frac{1}{3}\cdot l$ и $\frac{2}{3}\cdot l$ и в каждом по одной степени свободы, например, горизонтальной или вертикальной (кручением пренебречь) составить матрицу инерции (массу распределить пропорционально отношению сечений) и матрицу жесткости и решить простое вековое уравнение для 2-х степеней свободы $\det([M]^{-1}[L]-[1]\,\mu)=0$, где $\mu=p^2$ -квадрат собственной частоты.