Пирамида

[I want to get five]

Есть вопросы по задачам

3) В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен $60°$. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.

Четырехугольная пирамида изображена в первой задаче. Какой угол считается плоским? Это $ADE$?

Если да, то все грани являются равносторонними треугольниками и тогда сторона треугольника в основании равна ребру. А что можно сделать дальше?

1) Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в $120°$, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в $30°$. Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее высота равна $12$ см.



Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти как производение периметра на апофему, а апофема в данном случае совпадает с высотой. Т.е. достаточно найти сторону ромба. Правильно ли я понимаю, что угол $ADE$ равен $\dfrac{\pi}{6}$? Почему?
Если да, то $\tg\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt 3}=\dfrac{12}{AD}$ => $AD=12\sqrt{3}$

2) Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды $DABC$ равен $120°$. Расстояние от вершины $B$ до бокового ребра $DA$ равно $16$ см. Найдите апофему пирамиды.


$\alpha=120°$

Из $\Delta BPC$ находим $BC$.

$BC=2PB\sin 60°=2\cdot 16\cdot \dfrac{\sqrt 3}{2}=16\sqrt{3}$

$BC=AB=AC=16\sqrt{3}$

Как дальше найти апофему $DH$?

[gris]

3. Это $\angle AED$, ибо вершина пирамиды $E$. Дальше строить плоские углы двугранных углов. Проводить апофему, проводить перпендикуляры из вершин основания к боковому ребру.

2. Поместите $H$ в середину $BC$ на Вашем чертеже.

[I want to get five]

gris в сообщении #443755 писал(а):

3. Это $\angle AED$, ибо вершина пирамиды $E$. Дальше строить плоские углы двугранных углов. Проводить апофему, проводить перпендикуляры из вершин основания к боковому ребру.

2. Поместите $H$ в середину $BC$ на Вашем чертеже.

Сейчас слелаю!

Тогда получается, что из-за того, что грани являются равнобедренными треугольниками, то $\angle DAE=\angle ADE$. Тк сумма углов в треугольнике $180°$, тогда
$\angle AED=\angle EAD=\angle DAE=60°$



-- Пн май 09, 2011 00:26:24 --

А зачем $H$ помещать в середину $BC$?!

[gris]

Да. Дальше можно либо отыскать и сравнить тангенсы (синусы) требуемых углов, либо доказать равенство некоторых треугольников. Может быть ещё что остроумное увидите.

2. Можно рассмотреть $\Delta AHD$, например.

[I want to get five]

Спасибо! Похоже на правду?! задача 3)

[I want to get five]

Со второй задачей все понятно)

[I want to get five]

С первой -- тоже! Осталась третья)

[gris]

Обозначьте через $O$ центр основания и оттуда опускайте перпендикуляр на $ CD$ в точку $H$. А перпендикуляр из $B$ попадёт в $C$.

[I want to get five]

gris в сообщении #443824 писал(а):

Обозначьте через $O$ центр основания и оттуда опускайте перпендикуляр на $ CD$ в точку $H$. А перпендикуляр из $B$ попадёт в $C$.

Спасибо, уже разобрался))