Да уж, у Вас фокус вышел ещё круче --- сплошные загадки. Для сравнения помещу своё решение (оно, как я понимаю теперь, менее загадочно, но тоже производит впечатление фокуса). Итак, сначала сделаем замену

и получим
![$$
I=\frac{1}{2} \int\limits_0^{\sqrt{2}-1}
\ln{\frac{1+t}{1-t}}\,\frac{dt}{t}=
\int\limits_0^{\sqrt{2}-1} \left [ \sum_{k=0}^\infty
\frac{t^{2k}}{2k+1} \right ]dt=
\sum_{k=0}^\infty \int\limits_0^{\sqrt{2}-1}
\frac{t^{2k}}{2k+1}\,dt=
\sum_{k=0}^\infty \frac{(\sqrt{2}-1)^{2k+1}}{(2k+1)^2}.
$$ $$
I=\frac{1}{2} \int\limits_0^{\sqrt{2}-1}
\ln{\frac{1+t}{1-t}}\,\frac{dt}{t}=
\int\limits_0^{\sqrt{2}-1} \left [ \sum_{k=0}^\infty
\frac{t^{2k}}{2k+1} \right ]dt=
\sum_{k=0}^\infty \int\limits_0^{\sqrt{2}-1}
\frac{t^{2k}}{2k+1}\,dt=
\sum_{k=0}^\infty \frac{(\sqrt{2}-1)^{2k+1}}{(2k+1)^2}.
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/5/285d79a9fb048dae6786e6ff2a0c405082.png)
Затем сделаем другую замену, а именно,

. Тогда
![$$
I=\int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \frac{\ln{y}}{y^2-1}\,dy= \int\limits_0^1 \frac{\ln{y}}{y^2-1}\,dy-
\int\limits_0^{\sqrt{2}-1} \frac{\ln{y}}{y^2-1}\,dy= \frac{\pi^2}{8}+\int\limits_0^{\sqrt{2}-1} \left [ \sum_{k=0}^\infty y^{2k}\ln{y} \right ]dy=
$$ $$
I=\int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \frac{\ln{y}}{y^2-1}\,dy= \int\limits_0^1 \frac{\ln{y}}{y^2-1}\,dy-
\int\limits_0^{\sqrt{2}-1} \frac{\ln{y}}{y^2-1}\,dy= \frac{\pi^2}{8}+\int\limits_0^{\sqrt{2}-1} \left [ \sum_{k=0}^\infty y^{2k}\ln{y} \right ]dy=
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/1/9e1cb0da32177f3ca1502904cf83cc5182.png)
![$$
=\frac{\pi^2}{8}+\sum_{k=0}^\infty \int\limits_0^{\sqrt{2}-1}
y^{2k}\ln{y}\,dy= \frac{\pi^2}{8}+\sum_{k=0}^\infty \left [ \frac{(\sqrt{2}-1)^{2k+1}}{2k+1}\ln{(\sqrt{2}-1)}- \frac{(\sqrt{2}-1)^{2k+1}}{(2k+1)^2} \right ]=
$$ $$
=\frac{\pi^2}{8}+\sum_{k=0}^\infty \int\limits_0^{\sqrt{2}-1}
y^{2k}\ln{y}\,dy= \frac{\pi^2}{8}+\sum_{k=0}^\infty \left [ \frac{(\sqrt{2}-1)^{2k+1}}{2k+1}\ln{(\sqrt{2}-1)}- \frac{(\sqrt{2}-1)^{2k+1}}{(2k+1)^2} \right ]=
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/0/1206ff002c8e08c4723a49c5a8df7d1e82.png)

Таким образом,

откуда находим

А "разоблачение" надо искать в книгах про полилогарифмы. Вот здесь неплохо написано: Lewin L., Polylogarithms and associated functions, Elsevier North Holland, 1981.