Re: Про функцию Римана

[heyho]

Отделено от http://dxdy.ru/post156705.html#p156705. //AKM

Такой вопрос. Верно ли следующее :

Рассмотрим для иррациональных x

$$f(x)=\begin{cases}\frac 1q\text{, если $x=\frac pq$ - несократимая дробь,}\\ 0\text{, если $x$ иррационально.}\end{cases}$$

$f(x)=0$ имеет предел равный $0$ в каждой точке $a$, так как для любого значения аргумента $x$ разность $f(x)$$-$$0$ равна $0$, и поэтому
$|$$f(x)$$-$$0$$|$$<$$\varepsilon$ для любого $\varepsilon$$>$$0$ и для всех значений аргумента.

Так как во всех иррациональных точках предел существует и равен 0 и $f(x)=0$, то функция непрерывна в этих точках.

Прошу прощения, если бред.

[ewert]

heyho в сообщении #443774 писал(а):

так как для любого значения аргумента $x$ разность $f(x)-0$ равна $0$

Ну вот ужо и неверно. Если $a$ рациональна, то в ней значение функции отнюдь не ноль, в то время как в сколь угодно близких к ней иррациональных иксах -- вполне ноль.

-----------------------------------------------------------------------
Какой-то глюк с копированием-вставкой текста вместе с формулами (в лисичке; ранее такого не наблюдалось).

[heyho]

Так, а если рассматривать только множество иррациональных чисел?

[heyho]

Тогда другой вопрос. является ли следующее доказательство полным ?

Определим в промежутке [0,1] функцию $f(x)$ так : если $x$ рационально и выражается несократимой дробью $\frac{p}{q}$, то $f(x)=\frac{1}{q}$;
для x иррационального положим $f(x)=0$. Мы утверждаем, что в каждой рациональной точке функция имеет обыкновенные разрывы, в то время как в каждой иррациональной точке она непрерывна.
Действительно, пусть $x_0$ будет любая точка в рассматриваемом промежутке. Если задаться произвольным числом $\varepsilon>0$, то существует лишь конечное число натуральных чисел $q$, не превосходящих $\frac{1}{\varepsilon}$, а значит в промежутке найдется лишь конечное число рациональных точек $\frac{p}{q}$ для которых $f(\frac{p}{q})=\frac{1}{q}$ \ge\frac{1}{\varepsilon}$. Точку $x_0$ можно окружить такой окрестностью $(x_0-\delta,x_0+\delta)$, чтобы в нее не попала ни одна из этих точек (кроме, быть может, самой точки $x_0$). Тогда, лишь только $|x-x_0|<\delta$ ($x\not =x_0$), будет ли $x$ рационально или нет, во всяком случае $|f(x)|<\varepsilon$. Значит для любой точки $x_0$ существуют

$f(x_0+0)=f(x_0-0)=0$

Если $x_0$ есть иррациональная точка, то и $f(x_0)$=0$, т.е. в этой точке функция непрерывна; если же $x_0$ рационально, то $f(x_0)$ отлично от 0, и налицо разрыв (обыкновенный), с обеих сторон.