Имеется плотность распределения. Найти...

[Joker_vD]

Zag в сообщении #442804 писал(а):

Вышла такая область

"Обожемой". Вы пересекать-то области умеете? Просто нарисовать линию недостаточно, надо еще сообразить, где должна быть штриховка. Советую взять эту картинку и заштриховать красным фломастером область $\Omega$, тогда область интегрирования окажется заштрихованной сразу двумя цветами.

Zag в сообщении #442804 писал(а):

Но вопрос - как найти точку пересечения двух прямых?)

Решить СЛАУ из двух уравнений с двумя неизвестными.

[Zag]

Joker_vD в сообщении #442806 писал(а):

Zag в сообщении #442804 писал(а):

Вышла такая область

"Обожемой". Вы пересекать-то области умеете? Просто нарисовать линию недостаточно, надо еще сообразить, где должна быть штриховка. Советую взять эту картинку и заштриховать красным фломастером область $\Omega$, тогда область интегрирования окажется заштрихованной сразу двумя цветами.

Zag в сообщении #442804 писал(а):

Но вопрос - как найти точку пересечения двух прямых?)

Решить СЛАУ из двух уравнений с двумя неизвестными.

Нет-нет, я понимаю какая область мне нужна, просто штриховку не сменил когда рисунок переделывал)

Ок, а система будет выглядеть... одно уравнение $y=x/2$, а второе $y=x-1$?

[Joker_vD]

$$\left\{ \begin{array}{l} y = \frac x2, \\ x+y = 1. \end{array}\right.$$

Решайте.

[Zag]

$x=2/3$
$y=1/3$

-- Пт май 06, 2011 22:53:50 --

$P[X]=\int\limits_{0}^{2/3}\int_{0}^{1/3} dxdy + $\int\limits_{0}^{2/3}\int_{1/3}^{1} dxdy
Такой интеграл надо взять, верно?

[Zag]

То есть наверное такой
$P[X]=\int\limits_{0}^{2/3}\int_{0}^{1/3}(x+y) dxdy + $\int\limits_{0}^{2/3}\int_{1/3}^{1} (x+y)dxdy

[ИСН]

Давайте вернёмся к истокам. Предположим, нужно проинтегрировать какую-то (не Вашу, другую) функцию f по единичному квадрату. Ну, у которого углы (0,0), (0,1), (1,1) и (1,0). Как будет выглядеть интеграл?

[Zag]

\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1} f(x,y) dxdy
Полагаю, как-то так

[ИСН]

Ага, спасибо. Теперь: чем (кроме самой функции, что для нас пока неважно) этот интеграл отличается от Вашего первого слагаемого?

[Zag]

Пределами интегрирования)

[ИСН]

Числа чуть-чуть другие, а так всё то же самое. То есть у Вас что же, область тоже квадрат? Или этот, вроде него, ну, "квадрат 2 на 3", короче?

[Zag]

Нет у меня не квадрат. С интегралами у меня всегда было плохо дело, писал по памяти

[ИСН]

Так а что у Вас за область (ну, опять-таки первое слагаемое для начала) и как всё же выглядит интеграл по ней?

[Zag]

У меня два треугольника. Один вершиной кверху, другой вниз. Собственно нижний - первое слагаемое, верхний второе

[Joker_vD]

Ну так и почему у вас интегралы для треугольника выглядят как интегралы для квадрата?

Ладно. Представим себе треугольник, ограниченный $Ox$, $Oy$ и $x+y=1$ — т.е. ваша изначальная $\Omega$. Представили? Хорошо. Пометьте на $Ox$ какую-нибудь точку $0 \leqslant x \leqslant 1$ и проведите через нее вертикаль. Вопрос: какие координаты у точек этой вертикали, лежащих внутри $\Omega$? Ответ: они связаны условием $0 \leqslant y \leqslant 1 - x$. Теперь в голове должно что-то щелкнуть, после чего вы выпишете интеграл $\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1-x}f(x,y)\,dy$.

Случай с двумя треугольничками чуть сложнее, но принцип тот же, правда, удобнее начинать с точек на $Oy$.

[ИСН]

(Оффтоп)

Ну дак я и говорю, как же выглядит интеграл по треугольнику-то?

Joker_vD, Вы всё испортили. Знаете, какой катарсис переживает человек, когда сам додумается до идеи, что предел интегрирования может зависеть от...
Эх.