Несобственный интеграл

[rosa]

$\int_{0}^\infty\frac{sin^{2}x}{x^2}dx$, если известно, что $\int_{0}^\infty\frac{sinx}{x}dx=\frac\pi 2$

что то даже с какой стороны начать не знаю...

[gris]

Ну так по частям попробуйте.

[rosa]

Я попробую выдать решение, гляньте, пжста правильно или нет
$u=sin^2x, dv=x^{-2}dx, du=sin{2x}dx, v=-\frac1x$
$-\frac{sin^2x}{x}+\int_{0}^\infty\frac{sin2x}{2x}d{2x}=-0+\pi/2$

Что то не получается у меня с набором формул... в, общем, понятно, что надо в первой части искать пределы при $x\to 0$ и $x\to\infty$ (они оба 0 равны)

[bot]

Правильно.
Лучше привыкать без u и v обходиться, заодно и на набор посмотрите:

$\int\limits_0^\infty\sin^2x\, \frac{dx}{x^2}\, dx=$\int\limits_0^\infty\sin^2x\, d\left(-\frac{1}{x}\right)=-\frac{\sin^2x}{x}\big|\limits_0^\infty+\int\limits_0^\infty\frac{\sin 2x}{2x}\, d 2x= ...$

[Joker_vD]

(Оффтоп)

$\left.-\frac{sin^2x}{x}\right|_{0}^{+\infty}$

\left. -\frac{sin^2x}{x} \right|_{0}^{+\infty}

[ИСН]

(Оффтоп)

Единичный символ запихивать в фигурные скобки не надо, от слова "совсем".

[rosa]

Спасибо большое.

Можно, конечно, без u и v обходиться... но с точки зрения методики преподавания математики - с ними студенты (особенно не математики) лучше понимают откуда что берется ...

[Joker_vD]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #443126 писал(а):

Единичный символ запихивать в фигурные скобки не надо, от слова "совсем".

Лучше запихивать. А то начнешь формулу поправлять, символ перестанет быть единичным, а ты этого не заметишь, скобки забудешь... еще раз править придется. Нет уж, я как назначил себе: "ставить begin/end, {/}, etc. вокруг единичных штуковин", так и держусь этого правила. Пока жалеть не приходилось.

[rosa]

Можно еще спросить? Еще один несобственный интеграл
$\int_{-2}^2\frac{dx}{x^8-1}$

Тут две особые точки -1 и 1. Это понятно. Что то я первообразную найти не могу...

[ИСН]

А зачем? Вам что с ним сделать надо, с интегралом-то? Найти? Дак он расходится. Что-то другое? Что?

[rosa]

А почему он расходится?

[ИСН]

Ну, $\int\limits_{-1}^1{dx\over x}$ чему равен? Или что делает? Почему? Какими словами Вы это описываете?

[rosa]

Понятно, что расходится (гармонический ряд можно вспомнить, что то похожее)... Сформулировать грамотно не могу...
...
Подумаю об этом завтра...
...
Еще есть один интеграл: $\int_0^1\frac{\sqrt{x+1}}\sqrt[3]{e^x-e^{-x}}$

Опять что то с формулами не получается... В "Как набирать формулы?" написано, как корень степени n поставить, вроде все как в инструкции сделала, а не получилось... (то есть, в знаменателе дроби - корень третьей степени)

[ИСН]

$\int\limits_0^1\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{e^x-e^{-x}}}$
Скобочки не теряйте.
И опять: есть интеграл, и что? Что? Что сделать-то нужно с ним?

[rosa]

Да тоже сходимость исследовать надо...