Уравнение.

[dk-dw]

$4^m + 4^k + 4^n =2000$ - доказать что нет решений в целых числах.

Не смог решить. Только перебором.
Вытекло из одной задачи.

[gris]

А не сводится к $4^n+4^k=31$?

[Equinoxe]

А Вы рассмотрите по модулю 3
Все степени 4-ки дают остаток 1, т.е. левая часть делится на 3 нацело, а 2000 — нет

[age]

Пусть $n$ - наименьшее из трёх чисел, тогда $4^m + 4^k=2000-4^n$. Или $4^m + 4^k=4(500-4^{n-1})$. Т.к. $n$ - наименьшее, то очевидно, что если $n-1=0$, то выражение в скобках $500-1=499$ не делится на 4, в то время как левая часть $4^m + 4^k$ делится. Поэтому на 4 можно сократить. Рассуждая аналогично находим $4^{m'} + 4^{k'}=125-1=124=31\cdot4$
Откуда $4^m + 4^k=31$.

[dk-dw]

Благодарствую. Через остатки если решать - короче всего выходит. Со сведением к $4^m + 4^k = 31$ не пошло у меня, хотя пытался так решить.

Еще фигурирует аналогичное только там 7 четверок и они равны 2004. По модулю наверн ни как не выйдет.

[Sonic86]

Я так понимаю, что если $N$ в 4-ичной системе счисления имеет сумму цифр $s$, то уравнения $4^{n_1}+...+4^{n_k}=N$ при $k<s$ решений не имеют.

(Оффтоп)

dk-dw писал(а):

можно разными цветами?

Красный цвет для модераторов

[Equinoxe]

dk-dw, абсолютно также всё — 2004 делится на 3, а слева всегда будет 1 по модулю 3х

[dk-dw]

Equinoxe в сообщении #443123 писал(а):

dk-dw, абсолютно также всё — 2004 делится на 3, а слева всегда будет 1 по модулю 3х

Заметил только что. Спасибо! )