Правильно ли найдена производная?

[Rasulka]

$f(x)=e^{2x}sign(1-x^2)$
Правильно ли я нашел производную данной функции?
$f'(x)=2e^{2x}sign(1-x^2)$

[profrotter]

Предлагаю показать график функции. Есть подозрение, что будут разрывы (в некоторых точках пределы справа и слева будут различны), в результате чего выражение для производной будет содержать $\delta$ - функции.

[Joker_vD]

profrotter
Зачем график? Зачем $\delta$-функции? Пусть Rasulka просто укажет точки разрыва, а так все правильно.

[Rasulka]

$f'(x)=2e^{2x}sign(1-x^2)+e^{2x}\delta(1-x^2)(-2x)$
Но $e^{2x}\delta(1-x^2)(-2x)$ обнуляется во всех точках, кроме $x=1$ и $x=-1$
Спасибо.

[profrotter]

Joker_vD в сообщении #442415 писал(а):

profrotter
Зачем график? Зачем $\delta$-функции? Пусть Rasulka просто укажет точки разрыва, а так все правильно.

Дифференцируемая функция имеет разрывы в точках $x=\pm1$. В точке $x=-1$ на графике имеет место скачок вверх на некоторую величину $\Delta^{(+)}$, в точке $x=1$ имеет место скачок вниз на $\Delta^{(-)}$. Это автоматически означает, что в выражении для производной должны присутствовать члены вида: $\Delta^{(+)}\delta(x+1)-\Delta^{(-)}\delta(x-1)$.

Почему так? Пусть функция $f(x)$, имеет разрыв в точке $x_0$, где происходит, скажем, скачок вверх:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l}y(x), x<x_0\\y(x)+\Delta^{(+)}, x>x_0\end{array} \right,$$

где $y(x)$ - непрерывная функция. Тогда $f(x)$ можно предствить в виде: $f(x)=y(x)+\Delta^{(+)}\sigma(x-x0)$, где $\sigma(x)$ - функция Хевисайда (единичный скачок) Выполнив дифференцирование, с учётом того, что производная от функции Хевисайда есть дельта-функция, получим: $f'(x)=y'(x)+\Delta^{(+)}\delta(x-x0)$.
Аналогичный подход можно применить ко всем точкам где имеет место разрыв рассматриваемого типа и установить общее правило: В точках разрыва в составе производной присутствуют дельта-функции, знак перед которыми определяется направлением скачка при считывании графика исходной функции слева направо (вверх +, вниз -), а коэффициент перед дельта-функциями определяется величиной скачка.

-- Чт май 05, 2011 22:49:21 --

Rasulka в сообщении #442420 писал(а):

$f'(x)=2e^{2x}sign(1-x^2)+e^{2x}\delta(1-x^2)(-2x)$
Но $e^{2x}\delta(1-x^2)(-2x)$ обнуляется во всех точках, кроме $x=1$ и $x=-1$
Спасибо.

Ничего не обнуляется. Рассмотрите дифференцируемую функцию отдельно на интервалах $(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$, определитесь с значениями $sign(1-x^2)$ на этих интервалах,найдите производную. Потом учтите две точки разрыва и к полученным выражениям допишите дельта-функции с соответствующими коэффициентами.

[Joker_vD]

profrotter в сообщении #442428 писал(а):

Дифференцируемая функция имеет разрывы

Меня учили, что дифференцируемая функция непрерывна. Ладно, это все зависит от того, какая именно производная нужна Rasulka, обыкновенная или обобщенная.

[profrotter]

Joker_vD в сообщении #442458 писал(а):

profrotter в сообщении #442428 писал(а):

Дифференцируемая функция имеет разрывы

Меня учили, что дифференцируемая функция непрерывна. Ладно, это все зависит от того, какая именно производная нужна Rasulka, обыкновенная или обобщенная.

Ну что вы? - В данном контексте "дифференцируемая" - это та, которая подлежит дифференцированию, то есть, функция, чью производную требуется определить.

-- Пт май 06, 2011 00:07:40 --

Судя по тому, что в описании заданной функции использована разрывная (знаковая функция) речь идёт именно о обобщённой производной. Хотя, может быть всё что угодно.

[JMH]

profrotter в сообщении #442483 писал(а):

В данном контексте "дифференцируемая" - это та, которая подлежит дифференцированию, то есть, функция, чью производную требуется определить.

Ага, а интегрируемая функция - это функция, подлежащая интегрированию, т.е. функция, интеграл которой хотелось бы определить, так?

[Kallikanzarid]

Rasulka в сообщении #442420 писал(а):

Но $e^{2x}\delta(1-x^2)(-2x)$ обнуляется во всех точках, кроме $x=1$ и $x=-1$

Это не функция, она не может обнуляться или не обнуляться в точке. Просто укажите точки, где производная не существует :)