Вычисление массы атмосферы

[Tumofeu]

Задача: Вычислить массу земной атмосферы (Земля - шар радиуса $R_0$), если ее плотность меняется по закону $\gamma(h)=\gamma_0e^{-kh}$, где h - расстояние до земли.

Прошу помочь разобраться. Я думал считать поверхностный интеграл (но я не знаю как нужно представить здесь сферу и какие там будут пределы интегрирования), но преподаватель сказала, что здесь нужен простой двойной интеграл (опять же пределы интегрирования, и также если первый интеграл будет по dh, то по чему будет второй?).

Я не прошу решить за себя. Прошу наставить на путь истинный.

[oleg-spbu]

Эта формула подразумевает, что плотность однородна вдоль меридианов и паралелей
В таком случае

$m=\int\limits_{h_0}^{\infty}\gamma(h)dh$

Где $h_0$ -- это высота считая от поверхности земли, выше которой вы хотите определить массу атмосферы. Вполне вероятно, что вас интересует $h_0=0$

[ИСН]

Откуда взялось слово "двойной" - загадка. Интеграл либо тройной (ведь пространство трёхмерно), либо одинарный, потому что два из трёх там довольно естественно и легко сворачиваются.

[faruk]

oleg-spbu в сообщении #441407 писал(а):

Эта формула подразумевает, что плотность однородна вдоль меридианов и паралелей
В таком случае

$m=\int\limits_{h_0}^{\infty}\gamma(h)dh$

Где $h_0$ -- это высота считая от поверхности земли, выше которой вы хотите определить массу атмосферы. Вполне вероятно, что вас интересует $h_0=0$

Чтобы получить массу, плотность нужно умножать на объем.

$dm= ...$

[oleg-spbu]

Цитата:

Чтобы получить массу, плотность нужно умножать на объем.

$dm= ...$

Масса атмоферы гораздо сильнее меняется по вертикали, чем по горизонтальным направлениям=)

Поэтому тут подразумевается, что $\gamma$ имеет размерность $[\dfrac{\text{кг}}{\text{м}}]$
Иначе $\gamma(h)=\rho(h)\cdot S$, где $S=const$
Линейная плотность
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CB%E8%ED% ... E%F1%F2%FC

(Оффтоп)

А $S$ меняется незначительно с высотой от $4\pi R_0^2$ до $4\pi(R_0+h_0)^2$ ($R_0\approx 6400 km$, $H_0\approx 100km$(верхняя граница атмосферы, а дальше почти нет молекул))

[Tumofeu]

Всем спасибо за оперативность. Как я понял, рассчетная формула - $m=\int\limits_{h_0}^{\infty}\gamma(h)dh$ ?

Получается, что $R_0$ дано просто чтобы "запутать"?

P.s. А разве та формула не дает нам массу над 1 точкой поверхности? Не нужно ли это умножить на площадь сферы? Тогда $R_0$ как раз понадобится.

[Xey]

Tumofeu в сообщении #441743 писал(а):

P.s. А разве та формула не дает нам массу над 1 точкой поверхности? Не нужно ли это умножить на площадь сферы? Тогда $R_0$ как раз понадобится.

Да, в школе учат давление умножить на площадь Земли и все.

[мат-ламер]

А что умножить на площадь? Надо, чтобы было задано атмосферное давление на поверхности Земли (его в условии нет). Однако можно считать его общеизвестным.

(Оффтоп)

После того как было исправлено предыдущее сообщение, данное сообщение считать не действительным

[Tumofeu]

мат-ламер в сообщении #441767 писал(а):

А что умножить на площадь? Надо, чтобы было задано атмосферное давление на поверхности Земли (его в условии нет). Однако можно считать его общеизвестным.

это вряд ли. Все что дано в условии считается общеизвестным...

[Tumofeu]

Ну так что по поводу той формулы? Массу чего она описывает?

[ИСН]

Массу столба над одним квадратным метром поверхности, ёлки-палки. Множьте сами знаете на что.

[Tumofeu]

У меня получилось $M_A=\frac{4\pi\gamma_0R_0^2}{ke^{kh_0}}$

Вроде похоже на правду

[ИСН]

oleg-spbu в сообщении #441407 писал(а):

Вполне вероятно, что вас интересует $h_0=0$

[Tumofeu]

Да я уже) спасибо всем