Наиб и наим значения функции двух переменных

[shur]

$z=5x^2-4y^2-16y$

$D: \begin{cases} x^2+y^2 \le 1\\ y \ge x \\ y\ge 0 \\ \end{cases}$

В итоге получилась только одна точка в конце, как быть?!



1) $ \begin{cases} z'_x=10x=0\\ z'_y=-8y-16=0\\ \end{cases}$

Получается точка $(0;-2)$, которая не принадлежит области $D$

2) Рассмотрим границу $\text{Г}_1$

На ней выполняется равенство $x^2+y^2=1$ => $y^2=1-x^2$

Тогда $z(y)=5-9y^2-16y$

Определим в каких пределах изменяется $y$. Для этого нужно определить точку пересечения прямой и окружности

$ \begin{cases} x^2+y^2=1\\ y=x\\ \end{cases}$

$y^2+y^2=1$ => $y=-\dfrac{1}{\sqrt 2}$

ТОгда $-\dfrac{1}{\sqrt 2}\le y\le 0$

$z'(y)=-18y-16=0$ => $y=-\dfrac{16}{18}=-\dfrac{8}{9}$

Эта точка не принадлежит границе $\text{Г}_1$

3) На $\text{Г}_2$ у нас выполняется равенство $y=x$

Таким образом $z(y)=y^2-16y$

$-\dfrac{1}{\sqrt 2}\le y\le 0$

$z'(y)=2y-16=0$ => $y=8$ -- эта точка не принадлежит $\text{Г}_2$

4) На $\text{Г}_3$ у нас выполняется равенство $y=0$

$z(x)=5x^2$

$z'(x)=10x=0$ => $x=0$

Эта точка принадлежит границе $\text{Г}_3$.

$z(0;0)=0$

Нужно ли считать значения функции на стыках границ? Как быть раньше?!

[ИСН]

shur в сообщении #442074 писал(а):

$D: \begin{cases} x^2+y^2 \le 1\\ y \ge x \\ y\ge 0 \\ \end{cases}$

Цитата:

$y\ge 0$

теперь смотрим на картинку
теперь обратно

Цитата:

$\ge$

[shur]

Точно спасибо большое, $y\le 0$ в условии, я опечатался!!!

(Оффтоп)

а настроение подняли хорошо=)

[ИСН]

Теперь, да, считайте значения в угл... Стоп, а к чему вообще этот вопрос? Альтернатива-то какая? Сказать "минимум вот, а максимума не нашли - наверное, его нету"? Можно так? Бывает так?

[shur]

ИСН в сообщении #442117 писал(а):

Теперь, да, считайте значения в угл... Стоп, а к чему вообще этот вопрос? Альтернатива-то какая? Сказать "минимум вот, а максимума не нашли - наверное, его нету"? Можно так? Бывает так?

Да, бывает, у меня получилось так, что остались значения в углах:

$z(0;0)=0$

$z(-1;0)=5$ - наибольшее значение

$z(-\frac{1}{\sqrt 2};-\frac{1}{\sqrt 2})=5\cdot\frac{1}{2}-4\cdot\frac{1}{2}-\frac{16}{\sqrt 2}=\frac{1-16\sqrt 2}{2}$ -- наименьшее значение

Правильно?)

[Tlalok]

Верно.

[shur]

Tlalok в сообщении #442130 писал(а):

Верно.

Спасибо!