Евклидовы пространства и преобразования в них

[give_up]

Нужна помощь в решении нескольких задач по этой теме.
1)Пусть $G_1$ и $G_2$ - матрица Грама базисов $e_1$ и $e_2$. Доказать, что при любых положительных коэффициентах матрица Грама $G=a_1G_1+a_2G_2$ также есть матрица Грама некоторого базиса.
Т.е. $\[\begin{array}{l} \forall x,y \in {E^n},\forall {a_1},{a_2} \in R:\\ {a_1}{G_1} + {a_2}{G_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}({e_1},{e_1}) + {a_2}({g_1},{g_1})}& \ldots &{{a_1}({e_1},{e_n}) + {a_2}({g_1},{g_n})}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a_1}({e_n},{e_1}) + {a_2}({g_n},{g_1})}& \cdots &{{a_1}({e_n},{e_n}) + {a_2}({g_n},{g_n})} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {({f_1},{f_1})}& \ldots &{({f_1},{f_n})}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {({f_n},{f_1})}& \cdots &{({f_n},{f_n})} \end{array}} \right) \end{array}\]$

Тут я могу написать, что $\[\det ({a_1}{G_1}) + \det ({a_2}{G_2}) = {a_1}\det {G_1} + {a_2}\det {G_2} > 0\]$, но сомневаюсь что это условие является достаточным условием существования матрицы Грама для ${f_1,...,f_n}$. Всегда ли найдутся такие ${f_1,...,f_n}$, у которых скалярное произведение будет определятся полученной матрицей Грама?

2)Найти матрицу ортогонального отражения в (n-1)-мерном подпространстве, переводящего вектор $x$ в вектор $y$. Векторы заданы своими координатными столбцами
$\[\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ 1 \end{array}} \right\|,\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1}\\ 1 \end{array}} \right\|\]$
соответственно в ортонормированном базисе.

Думаю, что если $\[x = x' + x'';\,\,x' \in L,x'' \in {L^ \bot }\]$, то в результате ортогонального отражения получим вектор $\[y = x - 2x''\]$. Тогда
$\[x'' = \frac{{x - y}}{2} = \left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 0 \end{array}} \right\|;x' = x - x'' = \left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 1 \end{array}} \right\|\]$
и получим систему из двух уравнений:
$\[\left\{ \begin{array}{l} Ax = y\\ Ax' = x' \end{array} \right.\]$
Откуда если
$\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\]$ - матрица отражения, получим:
$\[\left\{ \begin{array}{l} {a_{12}} = {a_{32}} = 0\\ {a_{22}} = - 1\\ {a_{11}} + {a_{13}} = 1\\ {a_{31}} + {a_{33}} = 1\\ {a_{21}} = - {a_{23}} \end{array} \right.\]$
Так я смог однозначно найти только элементы среднего столбца матрицы отражения, а остальные определены неоднозначно? Наверное здесь надо решать как-то по-другому...

3) Может ли самосопряженное преобразование в каком-либо базисе вещественного пространства иметь матрицу:
$\[\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{14}\\ 6&{13} \end{array}} \right\|\]$
Я нашел характеристические числа: $\[{\lambda _1} = - 1;{\lambda _2} = 19\]$
Они вещественные, но этого конечно недостаточно, чтобы говорить о самосопряженности преобразования, нужны еще какие-то условия.

[Xaositect]

1) Правильно думаете, что условия $\det G > 0$ недостаточно. Запишите условие $\forall x \neq 0: (x, x) > 0$ в координатном виде с использованием матрицы Грама. Докажите, что оно вместе с симметричностью матрицы является критерием.

2) Запишите, как действует $A$ на еще один вектор в плоскости $L$.

3) Запишите жорданову форму. Будет ли преобразование самосопряженным, если принять жорданов базис ортогональным?

[ewert]

give_up в сообщении #441139 писал(а):

Тут я могу написать, что $\[\det ({a_1}{G_1}) + \det ({a_2}{G_2}) = {a_1}\det {G_1} + {a_2}\det {G_2} > 0\]$,

Написать-то можно; только проку-то: сумма детерминантов ничему хорошему не равна, да и при чём тут вообще детерминанты. Зато при чём то, что матрица Грама для независимых векторов всегда строго положительна. При сложении положительность сохраняется. Между тем любая положительная матрица есть некая матрица Грама, т.е. может быть представлена в виде $G=A^TA$: достаточно взять $A=\sqrt{\Lambda}U$, где $G=U^T\Lambda U$ -- ортогональное преобразование подобия, приводящее матрицу $G$ к диагональному виду $\Lambda$.

give_up в сообщении #441139 писал(а):

переводящего вектор $x$ в вектор $y$.

Это -- стандартная задача, и решается стандартной формулой: $A\vec u=2\mathop\mathrm{Pr}_{\vec x+\vec y}\vec u-\vec u=2\frac{(\vec u,\,\vec x+\vec y)}{|\vec x+\vec y|^2}\;(\vec x+\vec y)-\vec u$. Т.е. $A=\frac{2}{|\vec x+\vec y|^2}(\vec x+\vec y)\,(\vec x+\vec y)^T-I$.

Xaositect в сообщении #441141 писал(а):

3) Запишите жорданову форму. Будет ли преобразование самосопряженным, если принять жорданов базис ортогональным?

Его нельзя принять ортогональным -- уж каким получится, таким и будет. Можно другое. Если $A=V^{-1}\Lambda\,V$ и интерпретировать диагональную $\Lambda$ как матрицу самосопряжённого оператора в каноническом базисе, то $A$ будет матрицей этого же оператора в базисе из столбцов $V$ (или $V^{-1}$, боюсь ошибиться, но какая разница).

[give_up]

ewert
Точно, я вспомнил про теорему для третьей задачи: "Каждую симметрическую матрицу $A$ можно привести к диагональному виду: $A = QDQ^T$, где $Q$ — ортогональная матрица, столбцы которой содержат базис из собственных векторов, а $D$ — диагональная матрица с собственными значениями матрицы $A$ на диагонали."
Следовательно если $A$ не будет иметь диагонального вида, то самосопряженное преобразование такой матрицы $A$ в каком-либо базисе иметь не сможет.

А в первой задаче $G=U^T\Lambda U$ получилось при подстановке $A=\sqrt{\Lambda}U$ в выражение $G=A^TA$, т.е. $\[G = {A^T}A = {(\sqrt \Lambda U)^T}\sqrt \Lambda U = {U^T}{(\sqrt \Lambda )^T}\sqrt \Lambda U = {U^T}\sqrt \Lambda \sqrt \Lambda U = {U^T}\Lambda U\] $? Тогда действительно для каждой положительно определенной квадратной матрицы мы получим доказательство того, что она является матрицей Грама...

[give_up]

Но мне только непонятно, если $G=A^TA$, то она является матрицей Грама, получившейся при переходе от некого старого ортонормированного базиса к новому, так?

-- Вт май 03, 2011 23:02:01 --

Это является достаточным условием существования матрицы Грама в новом базисе?
Первый раз сталкиваюсь с подобной задачей, разъясните пожалуйста

[ewert]

give_up в сообщении #441437 писал(а):

Но мне только непонятно, если $G=A^TA$, то она является матрицей Грама, получившейся при переходе

Она тупо является матрицей Грама всевозможных скалярных произведений столбцов матрицы $A$ друг на друга, получившейся совершенно не важно при каком переходе. И, кстати, в комплексном случае ровно так же, только там вместо транспонированной матрицы должна стоять эрмитово сопряжённая, а всё остальное ни на копейку не меняется.

[give_up]

Хорошо, с первой задаче разобрался

$$A=\frac{2}{|\vec x+\vec y|^2}(\vec x+\vec y)\,(\vec x+\vec y)^T-I$$

Тут не совсем ясно, как эта формула получилась из предыдущей и что такое матрица $I$

[ewert]

Скалярное умножение столбцов $(\vec a,\vec b)$ с формальной точки зрения -- то же самое, что умножение по матричным правилам $\vec a^T\,\vec b$ (умножение строки $\vec a^T$ на столбец $\vec b$). $I$ -- единичная матрица.

[give_up]

ewert
А векторы $x$ и $y$ ? Это как я понимаю не те $x$ и $y$ из условии задачи, а какие-то составляющие проекции, как их нужно находить?

[ewert]

give_up в сообщении #441652 писал(а):

как их нужно находить?

как хотите. Я написал общую формулу; разбирайтесь сами, как она будет работать в каждом конкретном случае.

[give_up]

В моем случае $\[A = E - \frac{2}{{|x''{|^2}}}\left\| {x''} \right\|{\left\| {x''} \right\|^T}\]$, спасибо