В общем виде.

[MrDindows]

Уравнение $a^x+b^x=c^x$, где $a,b,c>1$, можно решить в общем виде?

[Kallikanzarid]

$a, b, c, x$ откуда?

(Оффтоп)

Ферматистъ?

[MrDindows]

Kallikanzarid в сообщении #441621 писал(а):

$a, b, c, x$ откуда?

(Оффтоп)

Ферматистъ?

Не ферматист.
Вопрос возник из обычных школьных уравнений:
$3^x+4^x=5^x$
$5^x+12^x=13^x$

$a,b,c $-заданные действительные числа, $x$ - необходимо найти=)

[Sonic86]

Делите все на $c^x$, далее - численными методами (будет не более 2-х решений).

[MrDindows]

Решение, как
$x=f(a,b,c)$ никак не записать?)

[Sonic86]

В общем случае $f$ вряд ли элементарна. Подстановкой $t=\left( \frac{a}{c}\right)^x$ уравнение превращается в $t+t^{\xi}=1$, где $\xi \in \mathbb{R}$.

[arseniiv]

А вы не знаете, $f$ выразима через какие-нибудь известные специальные функции типа гамма-, бета-, гипергеометрических? Если нет — можно назвать её в чью-нибудь честь и поизучать!

-- Ср май 04, 2011 22:25:12 --

Если $f(x) + f(x)^x = 1$, $f(x)$, похоже, растёт на бесконечности медленнее даже, чем $\ln \ln x$!

-- Ср май 04, 2011 22:25:59 --

Ой, что я глупости пишу. Она же вообще ограничена сверху.

[Sonic86]

Я точно не знаю

[arseniiv]

Я производную нашёл, и дальше нет особых умений. В честь кого назовём?

[--mS--]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #442064 писал(а):

Я производную нашёл, и дальше нет особых умений. В честь кого назовём?

$\operatorname{arsonic}(x)$?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Только почему arc-?
Аа, там ar-! Ну, я не против…

[kotenok gav]

Введя в Mathematica InverseSeries[Series[Log[1-x]/Log[x],{x,1/2,10}]] ($10$ - число членов ряда) можно получить ряд Тейлора для функции $\operatorname{arsonic}$ в точке $x=1$. Первые три члена будут $\frac12+\frac14\log2\times(x-1)-\frac18\log2\times(x-1)^2$. Дальше будут члены вида $+\frac1{4^n}\times\text{что-то}\times(x-1)^n$ (что-то - слишком большая формула, в которой не видно закономерностей).

-- 11 май 2020, 05:19 --

Введя SeriesCoefficient[InverseSeries[Series[Log[1-x]/Log[x],{x,1/2,10}]],3]*4^3 (тройку можно и нужно варьировать) можно полюбоваться на это самое что-то.

-- 11 май 2020, 05:29 --

Что пока заметил - если упростить, то что-то является полиномом (с рациональными коэффициентами, обзовем его пока $\operatorname{kogav}_n(x)$) степени $n$ от $\log2$. Но, скорее всего, в упрощенном виде будет мало закономерностей.

-- 11 май 2020, 05:34 --

Т.е. $\operatorname{arsonic}(x)=\frac12+\frac14\log2\times(x-1)-\frac18\log2\times(x-1)^2+\sum\limits_{n=3}^\infty \frac1{4^n}\operatorname{kogav}_n(\log2)(x-1)^n$.

-- 11 май 2020, 05:42 --

$\operatorname{kogav}_3(x)=4x+2x^2-\frac43x^3$.

-- 11 май 2020, 05:46 --

$\operatorname{kogav}_4(x)=-8x-12x^2+8x^3$ (странно, что степень $<4$, для $n=5$ все нормально.

-- 11 май 2020, 05:56 --

$\operatorname{kogav}_5(x)=16x+48x^2-24x^3-\frac{28}3x^4+\frac{32}{15}x^5$.
Кажется, степень равна $n$ для нечетных $n$, и $n-1$ для четных.

-- 11 май 2020, 06:00 --

$\operatorname{kogav}$ можно доопределить и на $n\leq2$.

[kotenok gav]

$\operatorname{arsonic}(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac1{4^n}\operatorname{kogav}_n(\log2)(x-1)^n$.

$\operatorname{kogav}_0(x)=\frac12$.
$\operatorname{kogav}_1(x)=x$.
$\operatorname{kogav}_2(x)=-\frac12x$.
$\operatorname{kogav}_3(x)=4x+2x^2-\frac43x^3$.
$\operatorname{kogav}_4(x)=-8x-12x^2+8x^3$.
$\operatorname{kogav}_5(x)=16x+48x^2-24x^3-\frac{28}3x^4+\frac{32}{15}x^5$.

В $\operatorname{kogav}$ могут быть ошибки.

[kotenok gav]

Пара полезных функций:
ValueOf[n_]:=Simplify[SeriesCoefficient[InverseSeries[Series[Log[1-x]/Log[x],{x,1/2,n+5}]],n]*4^n]
kogav[n_]:=Catch[value=ValueOf[n];poly=Function[0];For[i=0,i<=n,i++,coeff=Coefficient[value,Log[2],i];poly=Function[poly[#]+coeff*(#^i)]];Throw[poly]]
Вторая почему-то не работает, и у нее есть один недостаток - она не распознает, что Log[8] - 3Log[2].