Термин «вектор» в математике

[arseniiv]

Длина вводится только в гильбертовых пространствах (вроде). Направление, если его понимать как угол между данным вектором и каким-нибудь фиксированным, тоже. И длина, и угол определяются через скалярное произведение, которое в аксиомах не присутствует.

[ewert]

arseniiv в сообщении #441571 писал(а):

Длина вводится только в гильбертовых пространствах (вроде)

Не длина, а угол. Аналогом длины является норма.

[arseniiv]

Это я хотел обобщить и сильно переобобщал.

jemka в сообщении #441564 писал(а):

Имхо, из любого прямого произведения, правильно вводя операцию "сложения", можно построить векторное пространство.

Постройте векторное пространство из прямого произведения $\{a, b, c, d\} \times \mathbb N^\mathbb R$. Над $\mathbb Q$, например.

jemka в сообщении #441564 писал(а):

Остается только обсудить, что понимается под векторным пространством.

Всегда одно и то же. Алгебраическая система с двумя носителями, один из которых поле, двумя операциями и восемью аксиомами. Описание можно найти где угодно.

[Kallikanzarid]

jemka в сообщении #441564 писал(а):

Kallikanzarid в сообщении #441517 писал(а):

Вектор - это элемент векторного пространства. Векторное пространство - это абелева группа, на которой задано действие некоторого поля эндоморфизмами.

Или иными словами на это множество, на котором заданы две операции: бинарная алгебраическая операция ( обычно называемая сложением) и унарная операция( обычно называемая умножением на число), подчиненные ряду аксиом.
Или иными словами (почти)

jemka в сообщении #441510 писал(а):

Не только длина и направление важны для вектора. Нужно еще, чтобы он умел складываться с другим вектором по правилу треугольника.
Все.

С умножением на число обычно проблем нет.
Почему не будет векторным пространством? Имхо, из любого прямого произведения, правильно вводя операцию "сложения", можно построить векторное пространство.
Может оно будет не совсем пригодным для употребления, но согласно определения -векторным пространством.
Остается только обсудить, что понимается под векторным пространством. Тогда, наверное,
какие-то части можно "предать верховному суду " и назвать ересью.
Т.е., при противоположной точке зрения:
надо дать определение и привести контрпример.

Мой гейкранкрадар засекает подозрительные возмущения По факту - если нет структуры векторного пространства, то не вектор. Спорить будете?

[mihailm]

arseniiv в сообщении #441571 писал(а):

Длина вводится только в гильбертовых пространствах (вроде)
...

(Оффтоп)

В нормированных

[Kallikanzarid]

arseniiv в сообщении #441577 писал(а):

Постройте векторное пространство из прямого произведения $\{a, b, c, d\} \times \mathbb N^\mathbb R$. Над $\mathbb Q$, например.

Довольно элементарно: в категории множеств имеем $\{a, b, c, d\} \times \mathbb N^\mathbb R \cong \prod^4 \mathrm{Hom}(\mathbb{R}, \mathbb{N}) \cong \prod^4 \mathrm{Hom}(\mathbb{R}, \mathbb{Q})$, а здесь нужная структура уже вводится элементарно.

Дело же не в том, можно ли задать, а в том, задано ли :)

[arseniiv]

Погодите, а как же умножение на скаляр, с левой компонентой ($a, b, c, d$) всё хорошо будет?

[Kallikanzarid]

Простите, я напутал Сильно, правда, ничего не поменяется:

$$\{a, b, c, d\} \times \mathbb N^\mathbb R \cong \{a, b, c, d\} \times \mathrm{Hom}(\mathbb{R}, \mathbb{N}) \cong \{a, b, c, d\} \times \mathrm{Hom}(\mathbb{R}, \mathbb{Q}) \cong \mathrm{Hom}(\mathbb{R}, \mathbb{Q}).$$

-- Ср май 04, 2011 18:22:54 --

Опять же, не это главное.

-- Ср май 04, 2011 18:36:44 --

arseniiv в сообщении #441577 писал(а):

Это я хотел обобщить и сильно переобобщал.

Вообще-то недообобщал: гильбертовы пространства - частный случай нормированных :)

[Виктор Викторов]

Kallikanzarid в сообщении #441517 писал(а):

Вектор - это элемент векторного пространства. Векторное пространство - это абелева группа, на которой задано действие некоторого поля эндоморфизмами. Все остальное - ересь!

Вы бы вспомнили как поставлен вопрос: «Можно ли называть вектором элемент прямого произведения множеств?» Вопрос необычен для математики. Ответом на него должно быть определение. А выясняется, что такого нет. Максимум, что есть это «направленный отрезок» или некоторые авторы называют векторами элементы некоторых пространств. Но, например, Колмогоров и Фомин, давая определение линейного (или векторного) пространства, говорят просто элементы. А через строчку запросто употребляют слово «вектор». Поэтому предлагаю «определение:» Вектор элемент математического фольклора типа Чебурашки.

[Kallikanzarid]

Виктор Викторов
Есть общепринятое определение векторного пространства, вектором называют элемент векторного пространства. Можете разводить демагогию хоть до конца света, но лучше достаньте хороший учебник по линейной алгебре и почитайте.

[jemka]

Колмогоров и Фомин в этом плане, имхо, один из лучших учебников.
Извиняюсь, уточню свою точку зрения, т.е. повторюсь:
Иногда назвать вектором можно.
Для противоположной точки зрения нужно дать не только определение ( см. arseniiv), но и привести контрпример.(Т.е. доказать, что на данном объекте ввести структуру векторного пространства нельзя)

[Kallikanzarid]

jemka в сообщении #441625 писал(а):

Для противоположной точки зрения нужно дать не только определение ( см. arseniiv), но и привести контрпример.(Т.е. доказать, что на данном объекте ввести структуру векторного пространства нельзя)

Это не так: имеет значение не то, какую структуру можно ввести, а то, какая структура введена. Например, аксиома выбора эквивалентна утверждению "на любом множестве можно задать групповую операцию" - но почему-то никто не торопится называть произвольное множество группой, а его элементы - элементами группы. Так что заканчивайте этот троллинг :)

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #441616 писал(а):

«Можно ли называть вектором элемент прямого произведения множеств?» Вопрос необычен для математики.

Вполне обычен. Если оба множества представляют собой некоторые линейные пространства -- то вполне можно, имея в виду линейную структуру на произведении, индуцируемую линейными структурами на сомножителях (как все по умолчанию всегда и полагают). А если хоть один из сомножителей линейной структуры не имеет -- то и вопрос празден (как минимум практически).

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #441631 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #441616 писал(а):

«Можно ли называть вектором элемент прямого произведения множеств?» Вопрос необычен для математики.

Вполне обычен. Если оба множества представляют собой некоторые линейные пространства -- то вполне можно, имея в виду линейную структуру на произведении, индуцируемую линейными структурами на сомножителях (как все по умолчанию всегда и полагают). А если хоть один из сомножителей линейной структуры не имеет -- то и вопрос празден (как минимум практически).

Тогда уж проще сказать, что вектор -- элемент линейного пространства по определению. Но тогда весь разговор не имеет смысла и ряд учебников надо подправить, добавив: и каждый элемент линейного пространства называется вектором.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #441636 писал(а):

Тогда уж проще сказать, что вектор -- элемент линейного пространства по определению.

А все ровно так всегда и считают. Это просто синонимы.

Ладно, поделюсь личным опытом. Я если вдруг читаю линейную алгебру -- непременно в соответствующий момент делаю оговорку типа: итак, ребята, начиная с данного момента мы будем понимать под векторами вообще просто элементы некоего абстрактного линейного пространства (почему это разумно -- я вам уже объяснил), а во избежание недоразумений обычные, всем нам привычные векторы, в смысле "направленные отрезки" -- будем называть "геометрическими векторами".