Вопрос о предельных теоремах в теории вероятностей

[ILYA_First]

Добрый день!
Есть функция $f$, заданная на $[0,1)$, ограниченная и сколько нужно раз гладкая. Отрезок $[0,1)$ разбили на $n$ равных отрезков, и на каждый бросили случайную величину $\alpha_{i n}$, равномерно распределенную на каждом из этих отрезков. $\xi _i ^ {(n)} = f(\alpha_{i n})$.
Нужно проверить, будут ли случайные величины $\xi _i ^ {(n)}$ удовлетворять центральной предельной теореме. Конкретно советуется использовать условие Ляпунова. Как это можно сделать?

Насколько я понимаю условие Ляпунова говорит, что $\sum \limits _{k=1}^{n} E | \xi_{k,n} |^s \to 0$. Но если просто посчитать мат. ожидание, то там получается величина, сходящаяся никак не к 0 (у меня получилось к $\infty$).

Буду всем признателен за помощь!

[_hum_]

Вы бы написали выкладки (хотя бы для f(x) = x). Возможно, в нормировке где-нибудь ошибка. Там же должно быть что-то вроде:

$$ \xi_{k,n} = \frac{\xi_i^{(n)} - \mathbf{E}\xi_i^{(n)}}{\sqrt{n \mathbf{D}\xi_i^{(n)}}} $$

[--mS--]

_hum_ в сообщении #441316 писал(а):

Вы бы написали выкладки (хотя бы для f(x) = x). Возможно, в нормировке где-нибудь ошибка. Там же должно быть что-то вроде:

$$ \xi_{k,n} = \frac{\xi_i^{(n)} - \mathbf{E}\xi_i^{(n)}}{\sqrt{n \mathbf{D}\xi_i^{(n)}}} $$

Если точнее, числитель - да, а в знаменателе стоит в общей ситуации не одинаковых дисперсий величина $B_n = \sqrt{\sum_{i=1}^n \mathsf D\xi_i^{(n)}}$, чтобы дисперсия суммы равнялась единице.

Я приведу, мне тоже интересно. Для $f(x)=x$ всё замечательно:

$$\mathsf E\xi_i^{(n)}=\mathsf E\alpha_{in}=\frac{i-0{,}5}{n},$$

Далее,

$$\mathsf E\left|\xi_i^{(n)} - \mathsf E\xi_i^{(n)}\right|^s \leq \dfrac{1}{(2n)^s},$$

$$\sum_{i=1}^n\mathsf E\left|\xi_i^{(n)} - \mathsf E\xi_i^{(n)}\right|^s \leq \dfrac{1}{2^s n^{s-1}}.$$

Дисперсии равны $\mathsf D\xi_i^{(n)} = \frac{1}{12n^2}$, $B_n^2=\frac{1}{12n}$, отношение Ляпунова

$$L_s = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n \mathsf E\left|\xi_i^{(n)} - \mathsf E\xi_i^{(n)}\right|^s }{B_n^s} \leq C \, \dfrac{n^{s/2}}{n^{s-1}} \to 0 $$

при любом $s > 2$.

В общей ситуации у меня, например, возникает вопрос - что делать со знаменателем в дроби Ляпунова (если числитель можно так же оценить сверху, то знаменатель-то надо снизу оценивать):

$$L_s= \dfrac{n \sum\limits_{i=1}^n \int\limits_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\left|f(x)-f(\zeta_{in})\right|^s dx}{\left(n \sum\limits_{i=1}^n \int\limits_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\bigl(f(x)-f(\zeta_{in})\bigr)^2 dx\right)^{s/2}}, $$

где $\zeta_{in}\in[\frac{i-1}{n},\,\frac{i}{n})$ - точки внутри отрезка такие, что $\int\limits_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx = \frac{f(\zeta_{in})}{n}$.

[ILYA_First]

--mS-- в сообщении #441364 писал(а):

В общей ситуации у меня, например, возникает вопрос - что делать со знаменателем в дроби Ляпунова (если числитель можно так же оценить сверху, то знаменатель-то надо снизу оценивать):

$$L_s= \dfrac{n \sum\limits_{i=1}^n \int\limits_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\left|f(x)-f(\zeta_{in})\right|^s dx}{\left(n \sum\limits_{i=1}^n \int\limits_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\bigl(f(x)-f(\zeta_{in})\bigr)^2 dx\right)^{s/2}}, $$

где $\zeta_{in}\in[\frac{i-1}{n},\,\frac{i}{n})$ - точки внутри отрезка такие, что $\int\limits_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx = \frac{f(\zeta_{in})}{n}$.

А откуда у Вас появилось $n$ в числителе и знаменателе?

[--mS--]

ILYA_First в сообщении #441470 писал(а):

А откуда у Вас появилось $n$ в числителе и знаменателе?

Это плотность равномерного распределения $\textrm U_{(i{-}1)/n,\, i/n}$.

[ewert]

Раз уж речь о предельных теоремах. Кто-нибудь может объяснить, почему в критерии хи-квадрат в знаменателях стоят $p_k$, а не $p_k(1-p_k)$?...

[--mS--]

(Оффтоп)

Оффтоп как бы :)

Ну, например, для двух интервалов

$$\left(\dfrac{\nu_1-np_1}{\sqrt{np_1}}\right)^2 + \left(\dfrac{n-\nu_1-n(1-p_1)}{\sqrt{n(1-p_1)}}\right)^2=\left(\dfrac{\nu_1-np_1}{\sqrt{np_1(1-p_1)}}\right)^2$$

слабо сходится к $\chi^2_1$. В занменателе $p_1(1-p_1)$ собралось из двух слагаемых.
Для большего числа интервалов, конечно, сложнее - но всё равно нет смысла стандартизовать отдельные слагаемые. Были бы они независимы - другое дело, вот сразу и хи-квадрат. А они зависимы, и сумма их квадратов должна давать такое же предельное распределение, как сумма на единицу меньшего числа квадратов независимых стандартных нормальных. Поэтому дисперсии отдельных слагаемых вряд ли должны быть единичными.
Не знаю, объясняет ли что-то формальное доказательство, можно у меня в лекциях почитать, оно довольно простое: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/lec/node65.html. В pdf-файле - ещё упрощено.