Неравенство с параметром

[spaits]

Данное неравенство: $|2x+a|\leqslant|x+3|-1$.
Построила графики функций$y_1=|2x+a|$ и$y_2=|x+3|-1$, по условию $y_1\leqslant y_2$. Но $y_2$ на интервале $(-4;-2)$ отрицательна, а функция $y_1$ везде неотрицательна, на этом отрезке неравенство вообще не имеет решений.
При $x=-4$ график функции $y_1=|2x+a|$ имеет с левой ветвью графика $y_1=|2x-1|$ только одну общую точку, а левее этой точки решением может быть отрезок. Также правее точки $x=-2$. Найдем условие, чтобы этот отрезок в обеих случаях был равен $1$.
Левая ветвь функции $y_1$ равна $y'_1=-2x-a$, правая ветвь $y.
Левая ветвь функции $y_2$ выражается функцией $y'_2=-x-3-1=-x-4$, правая - функцией $y.
Составляем систему уравнений для нахождения точек пересечения $y'_2$ с $y'_1$ и $y. Расстояние между этими точками должно равняться $1$. То же самое сделаем для функции $y. Находим соответственно два значения $a$. Других значений $a$ нет.
Левая ветвь функции $y_2$, находим точки ее пересечения с обеими ветвями функции $y_1$.
Два уравнения: $-2x-a-x-4$; $2x+a=-x-4$;
Выразим из каждого $x$: $x=4-a$; $x=x=-\dfrac{a+4}{3}$.
Расстояние между этими точками равно $1$: $-\dfrac{a+4}{3}-4+a=1$; $a=9,5$.
После аналогичных вычислений двух точек пересечения правой ветви функции $y_2$ с двумя ветвями функции $y_1$ получаем значение $a=2,5$.
Ответ проверила:$ a=9,5 \cup a=2,5$.
Из анализа наклона прямых на графике других решений нет.

[Виктор Викторов]

spaits в сообщении #441007 писал(а):

Данное неравенство: $|2x+a|\leqslant|x+3|-1$.
Построила графики функций$y_1=|2x+a|$ и$y_2=|x+3|-1$, по условию $y_1\leqslant y_2$. Но $y_2$ на интервале $(-4;-2)$ отрицательна, а функция $y_1$ везде неотрицательна, на этом отрезке неравенство вообще не имеет решений.

Правильно. А теперь я хочу Вам задать два «тихих» вопроса: 1. Когда функция $y=|2x+a|$ касается оси OX? (Т. е. чему равен корень этой функции?) 2. При каких значениях $a$ этот корень в указанном Вами весьма интересном интервале $(-4, -2)$? И третий громкий вопрос: Что будет при этих значениях с нашим неравенством? Только после ответа на эти вопросы можно идти дальше. Меня весьма обеспокоила Ваша фраза: «Ответ проверила:$ a=9,5 \cup a=2,5$.» Ответ ошибочен.

[ewert]

В принципе правильно, но слишком долго (наверное, из-за этого и ошибки). При изменении $a$ график левой функции скользит своим клювиком по оси иксов. Если он находится между корнями правой части, то решений нет. В остальных случаях решением будет отрезок, определяемый пересечением графика левой части с одной из полупрямых, образующих график правой части. Причём можно даже говорить о пересечении не с полупрямыми, а со всеми прямыми, поскольку с продолжениями этих полупрямых вниз график левой части не пересекается в любом случае. Всё, на этом геометрия закончилась, остались лишь формальности. Первый вариант: $|2x+a|=-(x+3)-1$; $2x+a=\pm(-x-4)$. При этом знаку "минус" отвечает левый корень $x_1=4-a$, знаку "плюс" -- правый корень $x_2=\frac{-4-a}{3}$. Проверку $-(x+3)-1\geqslant0$ делать не обязательно, это автоматически будет обеспечено требованием $x_2-x_1=1$, т.е. $\frac{-4-a}{3}-(4-a)=1$, откуда $a_1=\frac{19}{2}$. Второй вариант: $|2x+a|=+(x+3)-1$ и т.д.. Впрочем, можно второй случай и не обсчитывать: ясно, что второе значение должно быть симметрично первому относительно точки $(-3)$, т.е. $a_2-3=3-a_1$, т.е. $a_2=-\frac72$.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #441175 писал(а):

При изменении $a$ график левой функции скользит своим клювиком по оси иксов. Если он находится между корнями правой части, то решений нет.

ewert! Именно к этому я и подводил spaits.

ewert в сообщении #441175 писал(а):

Проверку $-(x+3)-1\geqslant0$ делать не обязательно, это автоматически будет обеспечено требованием $x_2-x_1=1$, т.е. $\frac{-4-a}{3}-(4-a)=1$, откуда $a_1=\frac{19}{2}$.

Проверку делать обязательно! Тогда выяснится, что Ваши ответы ошибочны. Правильные ответы $a=10$ и $a=14$.

ewert в сообщении #441175 писал(а):

Впрочем, можно второй случай и не обсчитывать: ясно, что второе значение должно быть симметрично первому относительно точки $(-3)$

Совершенно верно!

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #441247 писал(а):

Проверку делать обязательно! Тогда выяснится, что Ваши ответы ошибочны.

А я, между прочим, сделал (несмотря на необязательность -- так, для перекрёстного контроля). Она проходит.

Виктор Викторов в сообщении #441247 писал(а):

Правильные ответы $a=10$ и $a=14$.

А вот эти числа -- крайне странные: они явно противоречат Вашему же

Виктор Викторов в сообщении #441247 писал(а):

Совершенно верно!

[Виктор Викторов]

ewert! Вы правы, а я нет. Но с противоположным знаком для $a$. Начинали с "Найдите все значения a, при каждом из которых решения неравенства $|2x-a|+1\leqslant|x+3|$ образуют отрезок длины 1", закончили $|2x+a|\leqslant|x+3|-1$ .