Топология и квантовая механика

[Bulinator]

ewert в сообщении #440855 писал(а):

Так вот: если выписать квадратичную форму последнего оператора, то она будет содержать, помимо интегрального слагаемого, ещё и явно положительные внеинтегральные члены.

Можно подробнее? Какую квадратичную форму? Какое интегральное слагаемое?

[ewert]

Bulinator в сообщении #440862 писал(а):

Можно подробнее? Какую квадратичную форму? Какое интегральное слагаемое?

$\int\limits_a^b(-u''+pu)u\,dx=-u'u\Big|_a^b+\int\limits_a^b(u'^2+pu^2\,dx$. И вот те самые первые (внеинтегральные) слагаемые -- на собственных функциях откровенно положительны, поскольку они попросту соотв. экспоненты.

[Munin]

nestoklon в сообщении #440854 писал(а):

Если Вы напишете больше, я может быть смогу ответить на Ваш вопрос. Что за функции, на чём они определены? Что есть $a$?

Это я написал гранусловие в некотором общем виде, позволяющее, как мне кажется, "непрерывно перейти от одной топологии к другой". $f$ - искомая функция, $x_{1,2}$ - границы области, $f_1$ - заданное условиями значение, $a\in[0,1]$ - параметр гранусловия.

-- 02.05.2011 15:36:31 --

ewert в сообщении #440855 писал(а):

(Разумеется, речь лишь об отрицательных уровнях, поскольку спектр оператора на оси для неотрицательных энергий непрерывен и там сама постановка вопроса бессмысленна.)

Не совсем бессмысленна, в непрерывном спектре могут быть виртуальные уровни, их поведение рассмотреть тоже может быть интересно.

[nestoklon]

Munin в сообщении #440902 писал(а):

Это я написал гранусловие в некотором общем виде, позволяющее, как мне кажется, "непрерывно перейти от одной топологии к другой". $f$ - искомая функция, $x_{1,2}$ - границы области, $f_1$ - заданное условиями значение, $a\in[0,1]$ - параметр гранусловия.

Не пойдёт.
1) Разницу периодические/непериодические гранусловия параметром не задать.
2) Решение Вы может и параметризуете, но параметризовать надо не решения, а исходную задачу.
Ну и "крупными мазками", если бы можно было непрерывно перейти от одной топологии к другой, это была бы одна топология по определению.

[ewert]

Munin в сообщении #440902 писал(а):

в непрерывном спектре могут быть виртуальные уровни,

я не знаю, кто такие "виртуальные уровни", я знаю разве что резонансов (ну или истинных уровней, воистину сидящих на непрерывном спектре, но это такая уж экзотика), однако они точно к текущей дыскуссии не относятся

[obar]

ewert в сообщении #440855 писал(а):

И ответ достаточно очевиден. Естественно, низший уровень (да и вообще все) для оператора на оси лежат выше соотв. уровней для кольца.

Очевидно - не означает правильно. Я же просил - прежде чем делать какие-то заключения, посчитайте спектр хотя бы для прямоугольного потенциала. Если бы вы это сделали, вы бы увидели, что четные уровни понижаются, а нечетные - повышаются. Не все так однозначно. Я обращал на это внимание еще в первом сообщение.

[Munin]

nestoklon в сообщении #440906 писал(а):

Не пойдёт. 1) Разницу периодические/непериодические гранусловия параметром не задать.

Ну а что насчёт написанного мной выражения-то?

nestoklon в сообщении #440906 писал(а):

2) Решение Вы может и параметризуете, но параметризовать надо не решения, а исходную задачу.

А я параметризовал исходную задачу, параметр относится к гранусловию, это часть задачи.

nestoklon в сообщении #440906 писал(а):

Ну и "крупными мазками", если бы можно было непрерывно перейти от одной топологии к другой, это была бы одна топология по определению.

Это если совсем уж крупными :-)

ewert в сообщении #440909 писал(а):

я не знаю, кто такие "виртуальные уровни"

Попытался найти краткое введение, и не справился. Возможно, это жаргонное название для того, что вы уже знаете.

ewert в сообщении #440909 писал(а):

однако они точно к текущей дыскуссии не относятся

Непонятно, чем обусловлено такое мнение.

[nestoklon]

Munin в сообщении #440932 писал(а):

Ну а что насчёт написанного мной выражения-то?

Ну, для начала я не уверен что гамильтониан с указанными гранусловиями будет Эрмитовым.
Но если отвечать на исходный вопрос -- что-то странное происходит при $+0$. Были гранусловия локальными, стали нелокальными. Резко, как только мы отошли от $a=0$.

[Munin]

nestoklon в сообщении #440946 писал(а):

Ну, для начала я не уверен что гамильтониан с указанными гранусловиями будет Эрмитовым.

Вот это уже интересно. Надо подумать.

nestoklon в сообщении #440946 писал(а):

Но если отвечать на исходный вопрос -- что-то странное происходит при $+0$.

Ясно, спасибо.

Итого сценарий примерно такой: топология 1 -> что-то странное -> топология 2. Я не против.