школьная тригонометрия

[Sintanial]

Вот попросили решить уравнение а я что то в замешательстве как его решить:

$$\cos(\frac {x}{4})\cos(\frac {x}{2})\cos(x)=\frac{1}{8}$$

[Алексей К.]

Прокатывает тупое $x=4y$, полином 7-й степени относительно $\cos y$ раскладывается на 3 множителя: два кубических уравнения, одно линейное. Противненько, но...

[Sintanial]

а такое $x^2+2x\sin(\frac{3\pi}{2}x)+1=0$

[Rubik]

Sintanial в сообщении #440806 писал(а):

Вот попросили решить уравнение а я что то в замешательстве как его решить:

$$\cos(\frac {x}{4})\cos(\frac {x}{2})\cos(x)=\frac{1}{8}$$

Можно домножить на $\sin\frac x4$, получится красивенько, только потом не забыть убрать лишние корни, если они появятся.

Sintanial в сообщении #440823 писал(а):

а такое $x^2+2x\sin(\frac{3\pi}{2}x)+1=0$

Воспользоваться тем, что $|\sin\frac{3\pi}2|\leqslant1$.

[Алексей К.]

Rubik, конечно, имел в виду $\left|\sin \dfrac{3\pi}2 \color{blue}x\right|\leqslant 1$.

[spaits]

Sintanial в сообщении #440806 писал(а):

Вот попросили решить уравнение а я что то в замешательстве как его решить:

$$\cos(\frac {x}{4})\cos(\frac {x}{2})\cos(x)=\frac{1}{8}$$

Умножаем обе части уравнения на $\sin \dfrac{x}{4}$ и получаем: $\sin \dfrac{x}{4} \cos \dfrac{x}{4} \cos \dfrac{x}{2} \cos x=\dfrac18 \sin \dfrac{x}{4}$.
Три раза применяем формулу синуса двойного угла и сокращаем на $\dfrac18$; решаем уравнение: $sin 2x=sin \dfrac {x}{4}$.
$2x-\dfrac{x}{4}=2\pi n$ $\cup$ $2x+\dfrac{x}{4}=\pi+2 \pi k$.
Ответ: $x=\dfrac87 \pi n$ $\cup$ $x=\dfrac49 \pi+\dfrac89 \pi k$; $n, k$ принадлежат $Z$.

[Алексей К.]

$n=7$, $x=8\pi$, $\cos 2\pi \cos 4\pi \cos 8\pi=1\cdot 1\cdot 1\ne\frac18$. О чём, впрочем, Rubik предупреждал.

[Rubik]

spaits в сообщении #440835 писал(а):

Умножаем обе части уравнения на $\sin \dfrac{x}{4}$ и получаем: $\sin \dfrac{x}{4} \cos \dfrac{x}{4} \cos \dfrac{x}{2} \cos x=\dfrac18 \sin \dfrac{x}{4}$.
Три раза применяем формулу синуса двойного угла и сокращаем на $\dfrac18$; решаем уравнение: $sin 2x=sin \dfrac {x}{4}$.
$2x-\dfrac{x}{4}=2\pi n$ $\cup$ $2x+\dfrac{x}{4}=\pi+2 \pi k$.
Ответ: $x=\dfrac87 \pi n$ $\cup$ $x=\dfrac49 \pi+\dfrac89 \pi k$; $n, k$ принадлежат $Z$.

А вы уверены, что ответ $x=0$, который получается из первой части Вашего ответа при $n=0$ удовлетворяет уравнение?
Опередили

[spaits]

Rubik в сообщении #440838 писал(а):

spaits в сообщении #440835 писал(а):

Умножаем обе части уравнения на $\sin \dfrac{x}{4}$ и получаем: $\sin \dfrac{x}{4} \cos \dfrac{x}{4} \cos \dfrac{x}{2} \cos x=\dfrac18 \sin \dfrac{x}{4}$.
Три раза применяем формулу синуса двойного угла и сокращаем на $\dfrac18$; решаем уравнение: $sin 2x=sin \dfrac {x}{4}$.
$2x-\dfrac{x}{4}=2\pi n$ $\cup$ $2x+\dfrac{x}{4}=\pi+2 \pi k$.
Ответ: $x=\dfrac87 \pi n$ $\cup$ $x=\dfrac49 \pi+\dfrac89 \pi k$; $n, k$ принадлежат $Z$.

А вы уверены, что ответ $x=0$, который получается из первой части Вашего ответа при $n=0$ удовлетворяет уравнение?
Опередили

Да, из ответа надо убрать корни, при которых $sin \dfrac{x}{4}=0$; $x=4\pi n$.
Ответ:
$x=\dfrac87 \pi n$, $n$ принадлежит $Z$, $n\neq7r$, $r$ принадлежит $Z$ $\cup$ $x=\dfrac49 \pi+\dfrac89 \pi k$, $k$ принадлежит $Z$; $k\neq9t+4$, $t$ принадлежит $Z$.

-- Пн май 02, 2011 10:53:35 --

Rubik в сообщении #440838 писал(а):

spaits в сообщении #440835 писал(а):

Умножаем обе части уравнения на $\sin \dfrac{x}{4}$ и получаем: $\sin \dfrac{x}{4} \cos \dfrac{x}{4} \cos \dfrac{x}{2} \cos x=\dfrac18 \sin \dfrac{x}{4}$.
Три раза применяем формулу синуса двойного угла и сокращаем на $\dfrac18$; решаем уравнение: $sin 2x=sin \dfrac {x}{4}$.
$2x-\dfrac{x}{4}=2\pi n$ $\cup$ $2x+\dfrac{x}{4}=\pi+2 \pi k$.
Ответ: $x=\dfrac87 \pi n$ $\cup$ $x=\dfrac49 \pi+\dfrac89 \pi k$; $n, k$ принадлежат $Z$.

А вы уверены, что ответ $x=0$, который получается из первой части Вашего ответа при $n=0$ удовлетворяет уравнение?
Опередили

Не удовлетворяет, при умножении на $\sin \dfrac{x}{4}$ получаются лишние корни. Я их уже убрала.

[PAV]

spaits,
неделя за публикацию полного решения учебной задачи