Задачи по линейной алгебре

[give_up]

Помогите разобраться с задачами:
1)построить базис пространства многочленов второй степени, биортогональный базису из функциий $f_1,f_2,f_3$. Функции $f_1,f_2,f_3$ сопоставляют каждому многочлену $p(t)$ его значение соответственно при $t=1,t=2,t=3$.

Я не представляю, каким образом из этих функций можно составить базис, ведь вроде $\[{f_1}(p) = {a_0} + {a_1} + {a_2};\,{f_2}(p) = {a_0} + 2{a_1} + 4{a_2};\,{f_3}(p) = {a_0} + 3{a_1} + 9{a_2};\,\] $.
Но если для всех функций $f$ вместо аргумента $p$ брать аргумент $t$, то получим $f_1(t)=1,f_2(t)=2,f_3(t)=3$
И к этим функциям уже можно составить биортогональный базис. Можно ли так сделать?

2)В евклидовом пространстве в базисе $e$ с матрицей Грама
$\[\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&2 \end{array}} \right\|\]$
даны координаты векторов базиса
$\[h:\,\,\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right\|,\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 5 \end{array}} \right\|\]$
Найти координаты векторов биортогонального базиса $h^*$
А тут я совсем не понял зачем нужна матрица Грама

[svv]

1) Базис из функций $f_i$ составлять не нужно (они и есть базис), нужно найти дуальный (биортогональный) ему базис в трехмерном пространстве полиномов $a_0+a_1t+a_2t^2$. Это значит, что нужно найти такие полиномы $p_1$, $p_2$, $p_3$, что $f_i(p_k)=\delta_{ik}$, т.е. $1$ $(i=k)$ или $0$ $(i\neq k)$.

Например, для полинома $p_1$ имеем: $f_1(p_1)=1$, $f_2(p_1)=0$, $f_3(p_1)=0$.
Это значит: $p_1(1)=1$, $p_1(2)=0$, $p_1(3)=0$.
Из этих условий легко найти, что $p_1(t)=\frac 1 2 (t-2)(t-3)$.

Аргументами функций $f_i $ являются не числа, а полиномы, т.е. $f_2(p)=p(2)$.

2) Матрица Грама определяет скалярное произведение векторов: $(\mathbf x, \mathbf y)=\mathbf x^T G \mathbf y$. А скалярное произведение используется в условии $(h^*_i, h_k)=\delta_{ik}$, которым определяются векторы биортогонального базиса.

[give_up]

svv
Спасибо, теперь разобрался