Неравенство с параметром

[Edmonton]

Задание: "Найдите все значения a, при каждом из которых решения неравенства $|2x-a|+1\leqslant|x+3|$ образуют отрезок длины 1".

Есть ли способ решения данного задания, в котором не используется графическое рассмотрение левой и правой части?

Я дошёл по сути лишь до четырёх случаев начального неравенства
1) $x\leqslant a+2$; $-3\leqslant x$; $0.5a\leqslant x$
2) $a-2\leqslant3x$; $-3\leqslant x$; $x<0.5a$
3) $a+2\leqslant x$; $x<-3$; $x<0.5a$
4) $3x\leqslant a-4$; $x<3$; $0.5a\leqslant x$

Укажите, пожалуйста, путь, по которому надо следовать дальше, если таковой есть.

[nnosipov]

Есть простой и надёжный способ решения подобных задач --- координатно-параметрический. "Зарисуйте" неравенство в плоскости $(x,a)$, а затем "просканируйте" получившуюся картинку. Вы легко отыщете те значения параметра $a$, для которых множество решений данного неравенство есть отрезок длины $1$.

[Виктор Викторов]

Все весьма просто. Решаете методом интервалов. Возникает вопрос: А куда девать $\frac {a} {2}$ влево от $-3$, в $-3$ или вправо от $-3$? Поэтому неравенство распадается на три случая. Получив ответ (с параметром), проанализируйте каков должен быть параметр для длины 1.

[Edmonton]

nnosipov в сообщении #440723 писал(а):

Есть простой и надёжный способ решения подобных задач --- координатно-параметрический. "Зарисуйте" неравенство в плоскости $(x,a)$, а затем "просканируйте" получившуюся картинку. Вы легко отыщете те значения параметра $a$, для которых множество решений данного неравенство есть отрезок длины $1$.

Да, способ хороший, спорить даже не буду, но тем не менее,
"Есть ли способ решения данного задания, в котором не используется графическое рассмотрение левой и правой части?"
Я, может быть, не точно его определил, но всё же, а есть ли другие способы?

[Виктор Викторов]

Так нарисуйте графики левой и правой части и многое станет ясным.

[gris]

Можно перенести 1 вправо и немного порассуждать.
Возвести в квадрат.

[Виктор Викторов]

gris в сообщении #440736 писал(а):

Можно перенести 1 вправо и немного порассуждать.
Возвести в квадрат.

Зачем? Оба варианта решения аналитический и графический прозрачны и не так, чтобы слишком трудоемки. Впрочем, для графического решения единицу действительно лучше перенести вправо.

[gris]

(Оффтоп)

ТС десять раз уже сказал, что графический способ ему не нужен.
Так нет, "графически и ПСЁ"!
С некоторыми договорится невозможно.
Ну да ладно.

[spaits]

1) $a=-2$; 2) $a=2$; 3) $a=-6$; 4) $a=-14$.
Замечание. При решении уравнений с параметром в каждом уравнении необходимо писать условие, что модуль равен нулю, например, $x\leqslant {0,5a}$, а не $x<0,5a$ в каждой системе, иначе возможна потеря корней.
Решение первой системы неравенств.
$0,5a\leqslant{x}\leqslant{a+2}$; $a+2-0,5a=1$; $a=-2$.
Проверку, что выполняется условие $-3\leqslant{x}$, сделала, построив график $a=f(x)$, хотя это сделать можно было и аналитически.

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

gris!
Я, конечно, человек конфликтный, но я предложил два способа: графический и аналитический. И потом любопытно, ведь, перед аналитическим решением заглянуть в графическую щёлочку.

[Виктор Викторов]

spaits в сообщении #440748 писал(а):

1) $a=-2$; 2) $a=2$; 3) $a=-6$; 4) $a=-14$.

$a=-6$ (проверьте подстановкой) не является решением. Одним из решений является $a=-10$ (проверьте!). В принципе в этом неравенстве нет ничего сложного. Но нужно рассмотреть 7 (семь!) случаев. В одном из них нам повезло (при $a=-6$), а то было бы восемь. Но в каждом случае есть ещё свои варианты. Все резко упрощается, если рассмотреть неравенство $|2x-a|\leqslant|x+3|-1$ и нарисовать графики левой и правой части. Тогда сходу видно какие случаи нужно аналитически рассматривать.

[spaits]

Виктор Викторов в сообщении #440773 писал(а):

spaits в сообщении #440748 писал(а):

1) $a=-2$; 2) $a=2$; 3) $a=-6$; 4) $a=-14$.

$a=-6$ (проверьте подстановкой) не является решением. Одним из решений является $a=-10$ (проверьте!). В принципе в этом неравенстве нет ничего сложного. Но нужно рассмотреть 7 (семь!) случаев. В одном из них нам повезло (при $a=-6$), а то было бы восемь. Но в каждом случае есть ещё свои варианты. Все резко упрощается, если рассмотреть неравенство $|2x-a|\leqslant|x+3|-1$ и нарисовать графики левой и правой части. Тогда сходу видно какие случаи нужно аналитически рассматривать.

При решении я использовала составленные топикстартером четыре системы уравнений без проверки.
Просто взяла и решила эти системы уравнений. Но там будут дополнительные условия, в зависимости от того, $2x-a\leqslant{0}$ или $2x-a\geqslant{0}$. То-есть, надо рассмотреть системы уравнений заново.

[Виктор Викторов]

spaits!
Решения хороши, если они приводят к правильному ответу. Подставьте $a=-6$ и Вам всё станет ясно.

[spaits]

Виктор Викторов в сообщении #440889 писал(а):

spaits!
Решения хороши, если они приводят к правильному ответу. Подставьте $a=-6$ и Вам всё станет ясно.

При $a=-6$ нет решений вообще.
$2|x+3|+1\leqslant x+3|$; $|x+3|+1\leqslant 0$.
Данное неравенство с параметром я еще не решила.

[Виктор Викторов]

А если при $a=-6$ нет решений (и это правильно!), то можно ли найти "интервал решений" длины $1$? Ответ очевиден. Весьма советую решить это неравенство, но если не нарисовать график (я об этом писал выше), то это страниц десять исписать. Нарисовав график, Вы сразу поймете, что ряд случаев и рассматривать не надо (включая $a=-6$). Это очень хорошая аналитическая задача.