Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися

[integral2009]

Проверить - являются ли прямые скрещивающимися и если да, то найти расстояние между ними.

Первая задана параметрически
Вторая как пересечение плоскостей.
Для определенности

$$\begin{cases} x=x_0+\alpha t\\ y=y_0+\beta t\\ z=z_0+\gamma t\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ \end{cases}$$

Есть идея --- параметрическое задание прямой подставить в уравнение одной из плоскостей, пересечением которых задана вторая прямая и найти $t$, а затем его подставить в параметричекие уравнения. Так мы найдем точку пересечения параметрической прямой и плоскости. ТОлько зачем?!
А потом подставить в параметрическое уравнение первой прямой

$$ A_1(x_0+\alpha t)+B_1(y_0+\beta t)+C_1(z_0+\gamma t)+D_1=0$$

$$A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1+(A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma)t=0$$

$$t=-\dfrac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}$$

$$\begin{cases} x=x_0-\alpha \frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}\\ y=y_0-\beta \frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}\\ z=z_0-\gamma \frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}\\ \end{cases}$$

[Tlalok]

А Вы можете сформулировать, что такое скрещивающиеся прямые?

Для определенности может быть сделаете в уравнениях плоскостей разные коэффициенты.


-- Сб апр 30, 2011 23:41:55 --

Найдите точки пересечения прямой, заданной параметрически, с каждой из плоскостей, задающих вторую прямую.

[integral2009]

Скрещивающиеся прямые -- прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости!!!

Т.е. если эти точки пересечения совпадают, то прямые пересекаются?!

[Tlalok]

Нет. Если эти две точки совпадают, то у Вас и плоскости тоже совпадают.
Смысл вот в чем. Если одна прямая лежит в плоскости, а вторая пересекает эту плоскость в точке не принадлежащей первой прямой, то прямые - скрещивающиеся.

Найдите точку пересечения первой прямой с одной из плоскостей.

Тут могут быть варианты: 1 точка, ни одной точки и бесконечно много точек.

Попробуйте домыслить дальше.

(домыслил сам)

Если точек пересечения нет, то прямая параллельна плоскости, а значит заданные прямые скрещивающиеся. Если точек пересечения бесконечно много, то прямая лежит в плоскости, а значит заданные прямые либо параллельны, либо пересекаются.
Если точка пересечения одна, то тоже самое необходимо проделать со вторым уравнением плоскости.
Дальше точно сами подумайте.

[spaits]

integral2009 в сообщении #440473 писал(а):

Проверить - являются ли прямые скрещивающимися и если да, то найти расстояние между ними.

Первая задана параметрически
Вторая как пересечение плоскостей.
Для определенности

$$\begin{cases} x=x_0+\alpha t\\ y=y_0+\beta t\\ z=z_0+\gamma t\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ \end{cases}$$

Есть идея --- параметрическое задание прямой подставить в уравнение одной из плоскостей, пересечением которых задана вторая прямая и найти $t$, а затем его подставить в параметричекие уравнения. Так мы найдем точку пересечения параметрической прямой и плоскости. ТОлько зачем?!
А потом подставить в параметрическое уравнение первой прямой

$$ A_1(x_0+\alpha t)+B_1(y_0+\beta t)+C_1(z_0+\gamma t)+D_1=0$$

$$A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1+(A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma)t=0$$

$$t=-\dfrac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}$$

$$\begin{cases} x=x_0-\alpha \frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}\\ y=y_0-\beta \frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}\\ z=z_0-\gamma \frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}\\ \end{cases}$$

Вторая система представляет не прямую, а плоскость (оба уравнения одинаковы).
Если это была бы прямая (оба уравнения были бы разные), то Вы бы подставили в каждое из них значения переменных, выраженные через $t$ из первой системы, нашли бы из полученных двух уравнений $t$. Если прямые пересекаются, Вы получите одинаковые значения $t$ из обеих уравнений. Если прямые не пересекаются, значения $t$ разные, а это значит, они или скрещивающиеся, или параллельны. Вам еще надо исключить случай параллельных прямых. Для этого приведите вторую систему к каноническому виду прямой, чтобы определить коэффициенты (координаты вектора, параллельного второй прямой). Для первой прямой эти координаты известны. Если векторы параллельны, прямые параллельны. В противном случае скрещиваются.

[Полосин]

Направляющие векторы прямых $l_1$ и $l_2$ и произвольный вектор $r$, соединяющий две точки на этих прямых, образуют параллелепипед. Объем этого параллелепипеда $abs(l_1l_2r)$ ненулевой тогда и только тогда, когда прямые скрещиваются. Расстояние между прямыми $h$ - это высота этого параллелепипеда; стало быть, $h=abs(l_1l_2r/|[l_1,l_2]|)$.

[Tlalok]

spaits
Можно еще проще. Исследовать получившуюся систему.

[ewert]

Tlalok в сообщении #440506 писал(а):

Можно еще проще. Исследовать получившуюся систему.

У нас система из пяти уравнений с четырьмя неизвестными. Исследовать её -- значит просто попытаться решить. А поскольку вид системы очень специфичен, пытаться надо так: подставить канонические уравнения первой прямой в каждое уравнение плоскости и посмотреть, совместна ли получившаяся простенькая системка из двух уравнений для одной переменной $t$.

Но это даёт (действительно быстро) лишь ответ на вопрос, пересекаются ли. И ничего не говорит о том, каково расстояние. Поэтому проще всего именно вариант Полосина (я только оформил бы его чуть иначе -- не через параллелепипед, а через проекцию). Т.е. мы в лоб считаем расстояние, а как найдём -- сразу ясно, пересекаются или нет.

[Tlalok]

ewert
То что вариант Полосина проще я согласен. Просто мне не понятно как выбрать вектор r.

[ewert]

Tlalok в сообщении #440649 писал(а):

мне не понятно как выбрать вектор r

Выбрать по одной точке (любой) на каждой прямой и соединить их вектором. Для первой прямой такая точка сидит непосредственно в параметрических уравнениях. Для второй -- надо взять любое решение системы из этих двух уравнений.

[integral2009]

Полосин в сообщении #440505 писал(а):

Направляющие векторы прямых $l_1$ и $l_2$ и произвольный вектор $r$, соединяющий две точки на этих прямых, образуют параллелепипед. Объем этого параллелепипеда $abs(l_1l_2r)$ ненулевой тогда и только тогда, когда прямые скрещиваются. Расстояние между прямыми $h$ - это высота этого параллелепипеда; стало быть, $h=abs(l_1l_2r/|[l_1,l_2]|)$.

Спасибо!
не понимаю -- как могут 2 прямые и вектор образовать параллелепипед?!оО

-- Вс май 01, 2011 19:21:47 --

Tlalok в сообщении #440649 писал(а):

Уравнение\я плоскостей совпадают

Это я опечатался, индексы должен ыбл другие поставить)))

-- Вс май 01, 2011 19:25:47 --

ewert в сообщении #440568 писал(а):

Но это даёт (действительно быстро) лишь ответ на вопрос, пересекаются ли. И ничего не говорит о том, каково расстояние. Поэтому проще всего именно вариант [b]Полосина (я только оформил бы его чуть иначе -- не через параллелепипед, а через проекцию). Т.е. мы в лоб считаем расстояние, а как найдём -- сразу ясно, пересекаются или нет.

Спасибо! А как через проекцию?!
А как действовать, если мы проверили, что прямые не пересекаются, как в этом случае найти расстояние между прямыми и проверить -- скрещивающиеся они или параллельные?!

[integral2009]

(((((

[integral2009]

Спасибо за ответы, в общем виде вряд ли получится, давайте попробуем на примере....

Проверить - являются ли прямые скрещивающимися и если да, то найти расстояние между ними.

Первая задана параметрически
Вторая как пересечение плоскостей.
Для определенности

$$\begin{cases} x=t-1\\ y=-t+3\\ z=4t-5\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2x-3y+z=5\\ x+y-5z=4 \\ \end{cases}$$

-- Ср май 04, 2011 14:46:41 --

1)Подставляя параметрические уравнения в первую плоскость

$2(t-1)-3(-t+3)+4t-5=5$

$2t-2+3t-9+4t-5=5$

$2t+3t+4t=5+5+9+2$

$9t=21$ => $t_1=\dfrac{21}{9}$

2)Подставляя параметрические уравнения в первую плоскость

$t-1-t+3-5(4t-5)=4$

$-1+3-20t+25=4$

$-20t=4+1-3-20$

$-20t=-23$ =>$t_2=-\dfrac{23}{20}$

Значит прямые не пересекаются...А других объяснения я не понял(((
Подскажите, пожалуйста, чтол дделать дальше!

[ewert]

integral2009 в сообщении #441614 писал(а):

(((((

integral2009 в сообщении #440705 писал(а):

Спасибо! А как через проекцию?!

Просто. Мысленно проводим через первую прямую плоскость параллельно второй прямой и для второй прямой аналогично. Эти две плоскости окажутся параллельными или (в частном случае, когда прямые пересекаются) будут совпадать.

Так вот: расстояние между прямыми -- это расстояние между этими плоскостями.

А последнее находится по шаблону: надо спроецировать любой вектор, начало которой лежит в одной плоскости и конец в другой, на общий вектор нормали к обеим плоскостям. В качестве концов первого вектора можно взять любую точку на первой прямой и любую на второй. А общая нормаль -- это векторное произведение направляющих векторов этих прямых. Отсюда и ответ.

Потом это всё при желании можно, разумеется, домыслить до параллелепипеда; но мне это не кажется особо так эстетичным.

[integral2009]

Мысленно, это понятно, спасибо!
А как это аналитически?!