2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение30.04.2011, 19:04 
1) Какие книжки можно почитать, в которых есть решение подобных уравнений?!

a) $3\arcsin x= 4\arcsin {2x}$

Пришло такое просветление

$\arcsin x = y$

$\arcsin {2x}=z$

$\sin z = 2x$

$\sin y = x$

$\sin z = 2\sin y$

А как быть дальше?

b) $\arccos x=\dfrac{\pi}{4}+\arccos {3x}$

Тут нет идей, кроме таких:

$\arccos x = y$

$\arccos {3x} = z$

$\cos y = x$

$\cos y= \cos {\dfrac{\pi}{4}+\arccos {3x}}$

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение30.04.2011, 19:11 
Аватара пользователя
А если взять от обеих частей синус/косинус?

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение30.04.2011, 19:15 
caxap в сообщении #440394 писал(а):
А если взять от обеих частей синус/косинус?

Спасибо)) Но косинус учетверенного аргумента меня смутит))
А если $3\arcsin x= 4\arcsin {25x}$? Тут косинус не спасет)

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение30.04.2011, 19:22 
Аватара пользователя
Тут спасёт синус

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение30.04.2011, 19:28 
Аватара пользователя
В данном случае можно и не решать, а воспользоваться свойствами. А вот если тройку и четвёрку местами поменять, тогда да.
Это для а. А второе я и не приметил.

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение30.04.2011, 19:29 
Да я перепутал и 25 поставил не там))) Пусть тогда такой пример!
$3\arcsin x= 25\arcsin {2x}$

Возьмем $\sin$

$\sin(3\arcsin x) =  \sin(25\arcsin {2x})$

А как дальше?))

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение30.04.2011, 19:31 
Аватара пользователя
Это аналогично. Кроме нуля корней нет. Рассмотрите неравенство арксинуса и его аргумента. Надо вместо 3 написать 53.

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение30.04.2011, 19:33 
Аватара пользователя
Что-то подсказывает, что кроме 0 корней нет

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение30.04.2011, 19:40 
Спасибо, caxap
Спасибо, gris
Спасибо, SpBTimes

Но я не понял -- как вы так вычислили))

Рассмотреть нер-во $\sin x < x$?) Множества значений не совпадают у этих функций! А зачем это рассматривать и как его решить?)

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение30.04.2011, 19:51 
Аватара пользователя
Во-первых, функция с арксинусом нечётная, во-вторых для положительных значений аргумента его арксинус меньше этого аргумента, но больше некоторой квадратичной функции. То есть некоторая функция разделяет правую и левую части.
Хотя это не всегда сработает и вообще не относится к школьной программе. Забудьте.
С арккосинусом такая штука не пройдёт, ну там тоже что-нибудь можно придумать.
Хотя знать общий метод, конечно, надо.

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение30.04.2011, 19:56 
gris в сообщении #440421 писал(а):
Во-первых, функция с арксинусом нечётная, во-вторых для положительных значений аргумента его арксинус меньше этого аргумента, но больше некоторой квадратичной функции. То есть некоторая функция разделяет правую и левую части.
Хотя это не всегда сработает и вообще не относится к школьной программе. Забудьте.
С арккосинусом такая штука не пройдёт, ну там тоже что-нибудь можно придумать.
Хотя знать общий метод, конечно, надо.

Да, спасибо, как раз хочу узнать общий метод!

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение30.04.2011, 23:47 
Ну вот, может книжку хоть посоветуете, в которой разобраны подобные примеры?!!

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение01.05.2011, 10:41 
Аватара пользователя
Например, Ткачук "Математика абитуриенту". Не помню насчёт ровно таких уравнений, но общие методы (которые и ваши случаи покрывают) там разобраны. Кстати, формулы кратных аргументов довольно часто выручают и советую их научиться выводить (можно школьными методами, а можно прочитать про комплексные числа, формулу Муавра и бином Ньютона).

 
 
 
 Re: Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение04.05.2011, 17:01 
caxap в сообщении #440552 писал(а):
Например, Ткачук "Математика абитуриенту". Не помню насчёт ровно таких уравнений, но общие методы (которые и ваши случаи покрывают) там разобраны. Кстати, формулы кратных аргументов довольно часто выручают и советую их научиться выводить (можно школьными методами, а можно прочитать про комплексные числа, формулу Муавра и бином Ньютона).

Спасибо, почитал -- действительно интересно!

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group