Уравнения с обратными тригонометрическими функциями

[I want to get five]

1) Какие книжки можно почитать, в которых есть решение подобных уравнений?!

a) $3\arcsin x= 4\arcsin {2x}$

Пришло такое просветление

$\arcsin x = y$

$\arcsin {2x}=z$

$\sin z = 2x$

$\sin y = x$

$\sin z = 2\sin y$

А как быть дальше?

b) $\arccos x=\dfrac{\pi}{4}+\arccos {3x}$

Тут нет идей, кроме таких:

$\arccos x = y$

$\arccos {3x} = z$

$\cos y = x$

$\cos y= \cos {\dfrac{\pi}{4}+\arccos {3x}}$

[caxap]

А если взять от обеих частей синус/косинус?

[I want to get five]

caxap в сообщении #440394 писал(а):

А если взять от обеих частей синус/косинус?

Спасибо)) Но косинус учетверенного аргумента меня смутит))
А если $3\arcsin x= 4\arcsin {25x}$? Тут косинус не спасет)

[SpBTimes]

Тут спасёт синус

[gris]

В данном случае можно и не решать, а воспользоваться свойствами. А вот если тройку и четвёрку местами поменять, тогда да.
Это для а. А второе я и не приметил.

[I want to get five]

Да я перепутал и 25 поставил не там))) Пусть тогда такой пример!
$3\arcsin x= 25\arcsin {2x}$

Возьмем $\sin$

$\sin(3\arcsin x) = \sin(25\arcsin {2x})$

А как дальше?))

[gris]

Это аналогично. Кроме нуля корней нет. Рассмотрите неравенство арксинуса и его аргумента. Надо вместо 3 написать 53.

[SpBTimes]

Что-то подсказывает, что кроме 0 корней нет

[I want to get five]

Спасибо, caxap
Спасибо, gris
Спасибо, SpBTimes

Но я не понял -- как вы так вычислили))

Рассмотреть нер-во $\sin x < x$?) Множества значений не совпадают у этих функций! А зачем это рассматривать и как его решить?)

[gris]

Во-первых, функция с арксинусом нечётная, во-вторых для положительных значений аргумента его арксинус меньше этого аргумента, но больше некоторой квадратичной функции. То есть некоторая функция разделяет правую и левую части.
Хотя это не всегда сработает и вообще не относится к школьной программе. Забудьте.
С арккосинусом такая штука не пройдёт, ну там тоже что-нибудь можно придумать.
Хотя знать общий метод, конечно, надо.

[I want to get five]

gris в сообщении #440421 писал(а):

Во-первых, функция с арксинусом нечётная, во-вторых для положительных значений аргумента его арксинус меньше этого аргумента, но больше некоторой квадратичной функции. То есть некоторая функция разделяет правую и левую части.
Хотя это не всегда сработает и вообще не относится к школьной программе. Забудьте.
С арккосинусом такая штука не пройдёт, ну там тоже что-нибудь можно придумать.
Хотя знать общий метод, конечно, надо.

Да, спасибо, как раз хочу узнать общий метод!

[I want to get five]

Ну вот, может книжку хоть посоветуете, в которой разобраны подобные примеры?!!

[caxap]

Например, Ткачук "Математика абитуриенту". Не помню насчёт ровно таких уравнений, но общие методы (которые и ваши случаи покрывают) там разобраны. Кстати, формулы кратных аргументов довольно часто выручают и советую их научиться выводить (можно школьными методами, а можно прочитать про комплексные числа, формулу Муавра и бином Ньютона).

[I want to get five]

caxap в сообщении #440552 писал(а):

Например, Ткачук "Математика абитуриенту". Не помню насчёт ровно таких уравнений, но общие методы (которые и ваши случаи покрывают) там разобраны. Кстати, формулы кратных аргументов довольно часто выручают и советую их научиться выводить (можно школьными методами, а можно прочитать про комплексные числа, формулу Муавра и бином Ньютона).

Спасибо, почитал -- действительно интересно!