Поверхностный интеграл 2-ого рода

[Stotch]

Помогите пожалуйста его найти

$$\int_{S}^{}\int_{}^{} y^2zdxdy+xzdydz+x^2ydxdz$$

,где S-внешняя сторона поверхности
$x^2+y^2=z$,расположенная в первом октанте и ограниченная цилиндром $x^2+y^2=1$
Как это сделать опишите по шагам пожалуйста.Там через косинусы вроде надо,но для этого необходимо определить куда направлена нормаль,как это сделать?Или можно проще сделать?

[Dan B-Yallay]

Остроградский-Гаусс по обьёму минус поверхностный интеграл по "дну" или "крышке" это как смотреть.

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #440374 писал(а):

Остроградский-Гаусс по обьёму минус поверхностный интеграл по "дну" или "крышке" это как смотреть.

Всё равно помучиться придётся: Вы предлагаете заменить интеграл по параболоиду на интеграл по цилиндру, что, конечно, упрощало бы счёт, но отнюдь не радикально -- тем более, что интеграл от дивергенции считать тоже придётся. А фактически дело даже и усложнится: $z'_x$ и $z'_y$ выглядят просто, а вот $x'_z$ и $y'_z$ -- нет, использовать же их придётся, поскольку цилиндр для интегрирования можно проецировать на какую угодно плоскость, но только не на горизонтальную.

Так что проще выйдет всё-таки в лоб.

[Stotch]

В лоб это как?Нужно ли считать эти косинусы направляющие?искать нормаль?Формула Остроградского вроде тройной интеграл считает

[ewert]

Stotch в сообщении #440386 писал(а):

Нужно ли считать эти косинусы направляющие?

Нужно: при сведении поверхностного интеграла второго рода к интегралу первого рода получается

$\pm\iint\limits_{D_{xy}}(f_x\cdot\cos\theta_x+f_y\cdot\cos\theta_y+f_z\cdot\cos\theta_z)\,\dfrac{dx\,dy}{\cos\theta_z}=\pm\iint\limits_{D_{xy}}\left(f_x\cdot\dfrac{\cos\theta_x}{\cos\theta_z}+f_y\cdot\dfrac{\cos\theta_y}{\cos\theta_z}+f_z\right)dx\,dy$

(в Вашем примере выгоднее всего сводить к двойному интегралу именно по горизонтальной плоскости).

Stotch в сообщении #440386 писал(а):

искать нормаль?

Искать: вектор нормали -- это градиент функции $F(x,y,z)$, задающей поверхность уравнением $F(x,y,z)=\mathrm{const}$. А направляющие косинусы пропорциональны соответствующим компонентам этого вектора, причём искать коэффициент пропорциональности (или, что эквивалентно, нормировать вектор на единицу) не нужно, поскольку в последнем выражении присутствуют только отношения косинусов.

Знак плюс-минус надо выбирать в зависимости от того, острый или тупой угол образует вектор нормали с направлением оси $OZ$ (именно оси $OZ$, поскольку проецируем мы на плоскость $XOY$)

[Stotch]

Ну как я понимаю угол будет тупой т.к там параболоид и нормаль будет вниз смотреть.Т.е косинус альфа бетта берем положительными а косинус гамма отриц?

[ewert]

Stotch в сообщении #440422 писал(а):

Т.е косинус альфа бетта берем положительными а косинус гамма отриц?

Не так. По отдельности мы знаки косинусов выбирать не можем -- они зависимы. А знаки отношений любых двух косинусов, естественно, ни от чего не зависят. Но вот из того, что угол между нормалью и вертикальной осью тупой, следует, что знак при третьей компоненте векторного поля (которая в данном случае играет выделенную роль, т.е. при ней никаких косинусов не остаётся) должен быть минусом. И, следовательно, надо поставить минус перед всем вообще интегралом.