Интегрирование. Теоретический вопрос.

[kandasoft]

Здравствуйте!

Назрел вопрос новичка, что ли.

Любую ли функцию можно проинтегрировать?
Если возможно, подскажите примеры функций, интеграл от которых взять невозможно.

И еще, можно ли считать данный интеграл ( $\int e^{x^2}\, dx$ ) не интегрируемым?

upd. поправил формулу

[gris]

Если вопрос назрел, то Вы уже не новичок. И пока вопрос зрел, наверняка задумывались над смыслом слова "проинтегрировать". Что это означает? Тут трактовок можно несколько подобрать, какая из них Вас интересует?
Судя по примеру $\int e^{x^2}\, dx$, столь красиво написанному (только фигурные скобочки немножко забыли), Вас интересует вопрос интегрирования в элементарных функциях. И вот первый же пример и является неопределённым интегралом, который нельзя выразить в элементарных функциях.

А вот интеграл проинтегрировать ещё раз не удастся. Разве что определённый.

[Mitrius_Math]

kandasoft в сообщении #440088 писал(а):

Любую ли функцию можно проинтегрировать?

В элементарных функциях - не любую. Например, $\int \frac{\sin x}{x}dx$ и $\int \frac{\cos x}{x}dx$ не интегрируются.

[kandasoft]

gris, спасибо большое.
Вопрос интересует в целом, это был лишь частный пример, как и другие неберущиеся интегралы (pm298.ru/ntab_integral.php). Понятно, что есть несобственные интегралы, есть интеграл Лебега, Римана и другие. Можно интегрировать численно, можно в элементарных функциях.

Вот в общем, если обобщить, существуют ли такие функции, которые не подпадают под определение "можно проинтегрировать"?

[gris]

Вот я это и предположил. Что не всё так просто. Даже для неопределённого интегрирования. Недавно тут различали случаи интегрирования в элементарных и интегрирования в квадратурах.
Однако, в некотором смысле любая функция от икс неопределённо интегрируется. Если её интегрировать по игрек. Я посмеялся своей шутке, а Вы?
Ну да ладно.
Вот начитался Фрая. Который Стивен. И стилизуюсь под него. Получается? (пардон, уточню для избежания. Стилизуюсь только по речи. А не то, чтобы там по чему ещё)
С определённым то же самое. Любую функцию можно проинтегрировать хитрым способом.

[Munin]

gris в сообщении #440118 писал(а):

Любую функцию можно проинтегрировать хитрым способом.

Интересный тезис. В пятом классе "Б" на 23 стульях сидят 23 школьника, задавая естественную функцию "$\text{стул}\mapsto\text{школьник}$". Проинтегрируйте её, пожалуйста.

[gris]

Ну мы то о функциях одного действительного переменного. Я имел в виду, что можно с каким-нибудь нулевым весом попробовать. А так да, есть функции, для которых и интеграл нельзя определить. Хотя со школьниками можно попробовать. Ну типа взять да и сложить.
Только успеваешь поправляться за Вами. То ша, то ща. Как вот тут интегрировать?

[kandasoft]

Кстати, да, изначально думал про аналитические функции.
Но Ваш пример, Munin, очень интересный.
Спасибо большое.

[profrotter]

Фраза "Интеграл не берётся в элементарных функциях" означает, что есть соответствующая теорема Луивилля, которая доказывает, что именно этот интеграл не берётся в элементарных функциях. Так что либо интеграл можно взять, либо можно доказать, что его невозможно взять. Пока не следално ни того, ни другого - о выражении интеграла в элементарных функциях нельзя сказать ничего.

[kandasoft]

profrotter в сообщении #440141 писал(а):

Фраза "Интеграл не берётся в элементарных функциях" означает, что есть соответствующая теорема Луивилля, которая доказывает, что именно этот интеграл не берётся в элементарных функциях. Так что либо интеграл можно взять, либо можно доказать, что его невозможно взять. Пока не следално ни того, ни другого - о выражении интеграла в элементарных функциях нельзя сказать ничего.

Если можно, поподробнее.
Теорема Лиувилля об интегрировании в элементарных функциях вроде бы используется на практике?

[ewert]

kandasoft в сообщении #440088 писал(а):

Любую ли функцию можно проинтегрировать?

Тут где-то в дебрях утонула здравая мысля gris'а. О том, что надо договориться, что понимается под "интегрируемостью".

Если выражаемость интеграла через элементарные функции -- то даже и надеяться на это в общем случае было бы бессмысленно. Просто потому, что на элементарных функциях свет клином не сошёлся и в принципе не мог бы сойтись (уж чересчур их мало).

Если существование интеграла как такового -- то это совсем другой вопрос. Это -- вопрос о том, как определить само понятие интеграла так, чтоб оно оказалось осмысленным для как можно более широкого класса функций (и даже не в широте дело, а в замкнутости получающейся теории).

[Munin]

gris в сообщении #440126 писал(а):

Ну мы то о функциях одного действительного переменного.

По-моему, тут нет чёткой границы: сначала интегрируем со стандартной мерой на прямой, потом с произвольной мерой, потом с произвольной мерой на произвольном множестве...

kandasoft в сообщении #440140 писал(а):

Кстати, да, изначально думал про аналитические функции.

Это Лебега-то аналитические? Лебега - это как раз "интегрировать по игрек", если не путаю.

profrotter в сообщении #440141 писал(а):

Так что либо интеграл можно взять, либо можно доказать, что его невозможно взять. Пока не следално ни того, ни другого - о выражении интеграла в элементарных функциях нельзя сказать ничего.

А существуют такие интегралы, у которых подынтегральное выражение выражается в элементарных функциях, но о взятии самого интеграла нельзя ничего сказать? Которая из теорем Гёделя тут работает?

ewert в сообщении #440171 писал(а):

Если существование интеграла как такового -- то это совсем другой вопрос. Это -- вопрос о том, как определить само понятие интеграла так, чтоб оно оказалось осмысленным для как можно более широкого класса функций (и даже не в широте дело, а в замкнутости получающейся теории).

Интересно, а существуют такие определения, которые позволяют взять неопределённый интеграл от функции Дирихле?

[Kallikanzarid]

kandasoft в сообщении #440088 писал(а):

Любую ли функцию можно проинтегрировать?

Нет. В частности, чтобы функция была интегрируема по Лебегу на $\mathbb{R}$ (или на измеримом подмножестве $\mathbb{R}$), необходимо, чтобы она была измерима, то есть любое борелево множество переводила в борелево множество. Интегрируемость по Риману еще менее хорошая. Контрпример сходу не скажу, но наверняка где-то в интернетах есть куча примеров.

Если мы рассматриваем интеграл на отрезке, то:
1) Любая (кусочно)-непрерывная функция с конечным числом разрывов интегрируема по Риману,
2) Любая монотонная функция интегрируема по Риману.
Значит, искать следует среди довольно изотерического класса функций.

Если мы рассматриваем несобственный интеграл Римана, то возникает вопрос сходимости, что вносит в контрпримеры большее разнообразие :)

Munin в сообщении #440120 писал(а):

задавая естественную функцию "$\text{стул}\mapsto\text{школьник}$".

Функториальность - по классу? 8)

-- Сб апр 30, 2011 10:13:20 --

kandasoft в сообщении #440153 писал(а):

Если можно, поподробнее.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0% ... 1%83%D0%B0

[ewert]

Munin в сообщении #440180 писал(а):

Интересно, а существуют такие определения, которые позволяют взять неопределённый интеграл от функции Дирихле?

Существуют. Просто интеграл Лебега.

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #440196 писал(а):

среди довольно изотерического класса функций.

Наверное, имелся в виду всё-таки изотермический класс?...

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #440204 писал(а):

Наверное, имелся в виду всё-таки изотермический класс?...

Не, имелся введу эзотерический класс :)))