Маленькие вопросы по разным темам

[caxap]

У меня тут интересная мысля возникла

Известно, что каждый цвет можно разложить на три: красный $R$, зелёный $G$, синий $B$ (есть и другие "базисные" тройки). То есть каждый цвет представляет собой линейную комбинацию $rR+gG+bB$, где $r,g,b\in \mathbb R_+$. А что если представить пространство цветов как вещественное 3-мерное векторное пространство?! Тогда цвета будут векторами. Сложению векторов соответствует смешение цветов (не как красок, а как света от фонариков на белом фоне). Тройка $(R,G,B)$ будет базисом. Можно ввести норму $\|\cdot\|$ вектора -- яркость, считая $\|R+G+B\|=1$, $\|R\|=\|G\|=\|B\|$. Тогда умножение на скаляр можно рассматривать как увеличение яркости. Вроде бы все аксиомы вект. пространства выполняются. $0$ -- это чёрный цвет.

Только вот непонятно, что значит $-R$ и т. п. Если смешать его с $R$, получится черный цвет. То есть $-R$ -- это вроде "вычитания цвета". Ещё вместо нормы хотел ввести скалярное произведение, но не придумал ничего путёвого...

Это вообще смысл имеет? Одно приятное следствие я нашёл: раз это 3-мерное векторное пространство, то для выражения любого цвета нужно найти 3 линейно-независимых цвета. То есть берём один цвет, потом другой (неколлинеарный первому) и третий, который нельзя получить смешением двух предыдущих -- и получаем базис. Например, из $R$ и $B$ нельзя получить жёлтый $Y$, значит любой цвет можно получить смешением $R,B,Y$.

-- 26 апр 2011, 20:22 --

Может велосипед? Если да, то где можно почитать на эту тему?

-- 26 апр 2011, 20:55 --

Ещё навеяло: векторное пространство размерностей физических величин. Если $[X]=x$, $[Y]=y$, $\alpha\in \mathbb R$, то $x+y:=[XY]$, $\alpha x:=[X^\alpha]$. По СИ получается 7-мерное вещественное пространство. Пример базиса: $(L,M,T,I,Q,J,N)$ (длина, масса, время, сила тока, температура, сила света, количество вещества). Тогда, например, подпространство $\langle L,M,T\rangle$ будет соответствовать механическим размерностям. $0$ -- размерность безразмерной величины, типа угла или отношения длин.

Приятное следствие то же, что и выше: автоматически получаем, что, например, набором трёх независимых механических размерностей мы можем выразить любую мех. размерность.

Вероятность, что это велосипед, по-моему, больше. Поэтому буду благодарен за ссылки/литературу.

[caxap]

caxap в сообщении #438886 писал(а):

Только вот непонятно, что значит $-R$ и т. п.

Если $x+y$ обозначить смесь цветов как красок (а не как света), то, по-моему, тоже получается векторное пространство, причем $-R$ имеет смысл дополнительного цвета.

[ewert]

_hum_ в сообщении #438819 писал(а):

и уже не всегда может быть "аппроксимирована непрерывностью"(взять, например, какой-нить спектр поглощения квантовой системы...).

Может, кстати. Вообще-то дискретные уровни -- это идеализация "резонансов", которые имеют непрерывную природу.

[_hum_]

ewert в сообщении #438947 писал(а):

_hum_ в сообщении #438819 писал(а):

и уже не всегда может быть "аппроксимирована непрерывностью"(взять, например, какой-нить спектр поглощения квантовой системы...).

Может, кстати. Вообще-то дискретные уровни -- это идеализация "резонансов", которые имеют непрерывную природу.

Ну, наверное лучше в разделе физики спросить. Нас так на курсе физики учили, что энергетические уровни простой изолированной квантовой системы (того же атома водорода) - строго дискретны.

2caxap
Насчет линейного пространства цветов (если я провильно понял суть вопроса) - да, давно уже используют.

[ewert]

_hum_ в сообщении #438962 писал(а):

энергетические уровни простой изолированной квантовой системы (того же атома водорода) - строго дискретны.

Да, безусловно (в смысле если система соответствующая, конечно, и интерпретируется правильно; в конце концов, тот же электрон в поле протона имеет не только дискретный спектр, но и вполне себе непрерывный)). Только вот абсолютно изолированных систем в природе не бывает. И иногда их неизолированностью можно пренебречь, а иногда и нет.

[caxap]

_hum_ в сообщении #438962 писал(а):

Насчет линейного пространства цветов (если я провильно понял суть вопроса) - да, давно уже используют.

А где можно почитать? Я искал -- безрезультатно.

-----------
Ещё больше интересует литература по анализу размерностей, где изложение ведётся с "математической" точки зрения, в частности, размерности рассматриваются как векторы в пространстве размерностей и т.д. Я нашёл несколько книжек по анализу размерностей (Коган, Седов, Бриджмен, плюс отдельные параграфы в учебниках физики), но во всех в них одно и то же. Слишком скучно всё... [Поиск в интернете тут вообще проблема, ибо слово "размерность" в контексте "векторного пространства" имеет несколько другой смысл, и, естественно, я попадаю всегда на него ]

А ведь с позиции векторного пространства, по-моему, всё становится ясно и прозрачно. Начиная от естественного смысла "независимых" размерностей, основных единиц и заканчивая П-теоремой. (Последнюю я всегда сторонился, ибо всегда она меня своим видом пугала. А оказывается-то всё просто как три рубля: мы просто берём из физической зависимости максимальную систему переменных, размерности которых независимы и переходим в соответствующий базис. Тогда исходная физическая зависимость превращается в зависимость между безразмерными комплексами.)

[_hum_]

Цитата:

А где можно почитать? Я искал -- безрезультатно.

Хм. Странно, что не нашли. Может, мы про разные вещи говорим. Я имел в виду что-то наподобие этого [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Цветовая_модель[/url].

2eweret
Подумал тут, как же все-таки правильнее сформулировать вопрос caxapа насчет достаточности инструментария регулярных (непрерывных/дифф-ых) функций в физике. Может быть, в таком варианте: найти пример физ. модели $M(g)$, использующей разрывную функцию $g$, для которой невозможно было бы подобрать последовательность непрерывных функций $f_n \rightarrow g$, что $ M(f_n) \rightarrow M(g)$?

[caxap]

_hum_ в сообщении #439297 писал(а):

Я имел в виду что-то наподобие этого [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Цветовая_модель[/url].

Спасибо. В википедии-то я и не посмотрел...

[ewert]

_hum_ в сообщении #439297 писал(а):

для которой невозможно было бы подобрать последовательность непрерывных функций

Вряд ли выйдет. Наши вычислительные возможности (любые) сводятся в конце концов просто к арифметике и в этом смысле непрерывны. Соответственно, и любая полезная модель должна в том или ином смысле приближаться непрерывными. Другой вопрос -- качественные свойства таких приближений. Если модель разрывна по существу, то невозможно анализировать эти свойства, игнорируя разрывность.

[caxap]

Вы о своём, а я опять о своём. Меня вот что загрузило: что вообще такое физическая величина с математической точки зрения? тот же вопрос по отношение к размерностям.

Пусть $x=5\ \text{м}$ (м = метр). Что это значит? Буду интуитивно мыслить: метр -- это некий эталон физической величины, "5 м" -- это величина, в 5 раз большая эталона, то есть сумма пяти эталонных величин, или произведение эталонной величины на 5. Но как мы можем умножать числа на какую-то "физическую величину"? Умножение определено для чисел.

Разделим 15 м на 3 с. Получим 5 м/с. Опять: как мы из разных эталонов получили новый? И как вообще мы можем делить эти эталоны, это же не числа.

Можно попробывать рассматривать физические величины как пары из численного значение и единицы (= эталона, по отношению к которому то численное значение дано). Т. е. $x=5\ \text{м}:=(5,\text{м})$. Ну тогда опять вопрос: почему мы можем использовать эти пары в "обычных" расчётах с обычным умножением $\mathbb R\to\mathbb R$, сложением и пр.? Причём мы можем разделить (15,м) на (3,м) и получить вещественное число 5, которое можем засунуть в экспоненту, под синус и пр.

-- 28 апр 2011, 13:13 --

Короче, суть моего вопроса: как можно строго, математически описать физические величины. (Предположим, какой-нибудь инопланетянин-математик живёт в абстрактном мире и вообще не знает, что такое физика. Скажем, когда ему нужно измерить стороны прямоугольника, он даёт им числовые значения (подразумевая отображение $\text{длина}:\text{отрезки}\to\mathbb R$). Так вот, как ему объяснить, что такое физическая величина, имеющая размерность (напр. "5 м/с")? Что такое "размерность" он тоже не знает.)

[Joker_vD]

Ну расширьте вы $\mathbb R$, добавив в него "метр". Метр плюс метр равно два метра, пять умножить на метр равно пять метров, три метра на пять метров равно пятнадцать метров в квадрате и т.п. То же и с другими величинами.

Правда, с $\mathbb R(\text{m}, \text{s}, \text{kg})$ надо как-то уточнить, что килограмм нельзя складывать с метром...

[_hum_]

2caxap

А почему вопрос о физ. величинах в математическом разделе?
Вообще, я бы посоветовал копать в сторону математической теории измерений (measurement theory). Гляньте, например, книгу Пфанцагль "Теория измерений". Кратко (насколько помню) - объекты окруж. мира обладают свойствами, которые проявляются в наличии определенных отношений между объектами. В зависимости от типов отношений возможно построение различных шкал (гоморфизмов в R - представлений этих отношений через отношения на R). Для некоторых свойств удается построить т.н. шкалу отношений, в которой появляется операция деления. Это дает возможность содержательного введения понятия единицы физ. величины.

2ewert

Цитата:

Если модель разрывна по существу, то невозможно анализировать эти свойства, игнорируя разрывность.

Так а есть на примете пример такой физ. модели?

[caxap]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #439652 писал(а):

А почему вопрос о физ. величинах в математическом разделе?

Меня интересует математическая интерпретация. С физической я уже познакомился из указанных выше книг.

_hum_ в сообщении #439652 писал(а):

Вообще, я бы посоветовал копать в сторону математической теории измерений (measurement theory). Гляньте, например, книгу Пфанцагль "Теория измерений".

Глянул. Если честно, не очень понравилось... Глянул ещё в википедию и другие источники, так вообще плохо стало. "Теория измерений" -- это, по-видимому, какая-то страшная смесь метрологии (с определениями а-ля ГОСТ: много буков ни о чём), философии, психологии, и математики... Мозги пухнут от такого чтения, но никакого просветления я не испытал.

Пфанцагль выглядит строго, но я там не понял абсолютно ни одного предложения. Читал в разных направлениях, сидя, стоя... Наверное, слишком сложно для меня.

[_hum_]

(Оффтоп)

Ну да, она не легко читается. И наверное нужно немного для нее "созреть". Вот вы спрашивали

Цитата:

Пусть ($x = 5\text{\rm м}$(м = метр). [...] Но как мы можем умножать числа на какую-то "физическую величину"? Умножение определено для чисел.

На самом то деле операция умножения лишь описывает реальную процедуру измерения (точнее ее описывает операция 1 + 1 + 1 + 1 + 1): если взять измеряемый объект и начать к нему прикладывать (соответствует "+") идентичные некоторому выделенному (эталонному) объекту объекты, то для совпадения потребуется "приставить" друг к другу столько же объектов, сколько пальцев на руке.
Исторически множествам, обладающим "количественным свойством" таким же, как у множества пальцев на руке, договорились приписывать символ "5", поэтому для сообщения кому-то о мере протяженности объекта достаточно стало вместо фразы "чтобы получить такой же по протяженности объект, придется взять и составить столько же эталонных объектов, сколько пальцев на руке" произнести "его протяженность равна 5м", где "м" - протяженность эталонного объекта.

Я веду к тому, что не числа первичны - они лишь средство, позволяющее заменить изучение самих объектов и реальных отношений между ними на изучение чисел с их отношениями (например, отношение "один предмет тверже другого" можно попытаться перевести в отношение "больше/меньше" для натуральных чисел). И вся суть теории измерений - изучить, в каких случаях и как (с помощью какой реальной процедуры) можно строить адекватное соответствие между объектами и числами (например, как всем металлам так приписать числа, чтобы их отношение между собой "тверже/мягче" точно сопадало бы с "больше/меньше" для приписанных им чисел, и можно ли это сделать вообще).


З.Ы. Кстати, чтобы изучать эту теорию, надо быть по крайней мере знакомым с понятием математического отношения (как подмножества декартова произведения), ну и понятиями гоморфизмов, изоморфизмов.

[caxap]

(_hum_)

Отчлечённый вопрос: вы не знаете, почему значительная часть библиографических ссылок по теме "measurement theory" отсылают к каким-то учебникам по психологии? Как психология вообще с этим связана?

А без этой теории что такое "5 м" объяснить нельзя?