Равенство нулю функции в окрестности.

[aash29]

Здравствуйте,

пусть есть функция $f(x) \in C^{\infty}(R^n)$. Есть ли способ узнать, совпадает ли она с нулем в некоторой окрестности точки $x_0 \in R^n$ ?

[Vince Diesel]

Смотря как задана функция и что значит "способ". Алгоритма, который может использовать только значения функции и ее производных в каких-то точках, очевидно, нет.

[aash29]

Функция задана формулой.
А почему нет?

[Хорхе]

aash29 в сообщении #436564 писал(а):

Функция задана формулой.

Тогда надо внимательно посмотреть, не присутствует ли в формуле индикатор дополнения к окрестности $x_0$ в качестве сомножителя.

[Vince Diesel]

Представим, что такой алгоритм (программа) есть. Тогда он должен останавливаться за конечное число шагов. Пусть он начинает считать значения функции (и производных) в каких-то точках и получает одни нули. Тогда рано или поздно он остановится, выдав ответ "да". Но всегда можно подобрать ненулевую в окрестности $x_0$ гладкую функцию, равную нулю вместе со всеми своимим производными во всех точках, в которых алгоритм проверял значения.

aash29 в сообщении #436564 писал(а):

Функция задана формулой.

Или тут имеется в виду, что задана формула, можно ли ее упростить до вида $f(x)=0$?
Тогда надо описывать точно множество допустимых формул. Просто так вопрос смысла не имеет. Мало ли какие формулы бывают

[aash29]

Хорхе в сообщении #436570 писал(а):

Тогда надо внимательно посмотреть, не присутствует ли в формуле индикатор дополнения к окрестности $x_0$ в качестве сомножителя.

Ну предположим f - сложная функция с индикаторами, и это неясно.

Цитата:

Или тут имеется в виду, что задана формула, можно ли ее упростить до вида ?
Тогда надо описывать точно множество допустимых формул. Просто так вопрос смысла не имеет. Мало ли какие формулы бывают

Гладкая функция f задана своим выражением от x. Есть точка $x_0$, в которой $f(x_0)=0$. Хотелось бы узнать, существует ли окрестность, в которой f совпадает с тождественным нулем.

Ну пусть нет конструктивного алгоритма, может есть какое-нибудь другое условие? Или в случае, когда известно только что f - гладкая, ничего больше сказать нельзя?

[Хорхе]

Не будет никакого конструктивного алгоритма, пока мы не увидим Ваши формулы. А то формулы ведь разные бывают. Вот Вы тут не так много писали, и кто Вас знает: а вдруг Вы нулями функции $f(x) = \sum_{n\ge 1} n^{-x}$ интересуетесь?

[aash29]

Да это не какая-то 1 конкретная формула. f получается из правой части ОДУ, про которую известно только что она гладкая.

[AD]

Давайте упростим задачу. Дано число $x$. Как понять, равно оно нулю или нет? Не какое-то конкретное число, а оно там из правой части одного уравнения получается, известно только, что оно действительное.

Не, в самом деле, уточнять исходную постановку как-то надо, а то совсем не понятно

[aash29]

Подробно так подробно.

Пусть дана система ОДУ

$\dot{x} = A(x) + B(x)u,$
где $x \in R^n$, $u \in R$,
$A(x)=(a_1(x), \dots, a_n(x))^{\rm T}$,
$A(0) = 0$,
$B(x)=(b^1(x),\dots,b^n(x))^{\rm T}$,
$a_i(x)$, $b^i(x)\in {C^\infty (\Omega)}$


Нужно проверить одно условие, которое формулируется следующим образом:

Инволютивно ли распределение $F=span(B,ad_A B, \ldots ,ad_A^{r-2} B) $ в окрестности точки $x_0$?
Здесь $ad_A B = [A,B], ad^2_A B = [A,[A,B]] ,ad^k_A B = [A,[A,...[A,B]...]] $

Я думаю, что инволютивность надо проверять через ранг функциональной матрицы F(x), а тот в свою очередь через условия на миноры.
Условия на миноры будут выглядеть как f_i(x)=0. Если все они совпадают с тождественным нулем в окр. $x_0$, то распределение инволютивно, иначе нет.

Кстати, может инволютивность можно как-нибудь проще проверить?

[Vince Diesel]

По теореме Фробениуса. Но там все равно надо проверять равенство нулю дифференциальных форм.
А квадратные скобки, это скобки Ли для векторных полей? Есть еще критерий, для инволютивности подмногообразия скобли Ли любых двух касательных векорных полей должны лежать в нем же. С учетом способа построения, может, подсчетов будет меньше. Фактически, скобку для последнего вектора с остальными проверять надо.

[aash29]

Да, скобки это коммутаторы. Я собственно и хочу проверить условия теоремы Фробениуса в формулировке "гладкое регулярное инволютивное распределение интегрируемо".

Цитата:

Есть еще критерий, для инволютивности подмногообразия скобли Ли любых двух касательных векорных полей должны лежать в нем же.

Ну это и имелось в виду под проверкой ранга F(x), только поскольку все зависит от x, нужно выяснить где именно это выполняется, включет ли это множество x_0 и имеет ли оно меру 0.

[Vince Diesel]

Да никак нельзя посчитать, ничего не зная, кроме гладкости правой части.
Если функция выражена через элементарные, то матпакеты умеют упрощать не слишком сложные формулы. Опять же, в этом случае можно просто посчитать результат в сотне, скажем, случайных точек в малой окрестности точки $x_0$. Если везде ноль, то...