Угловые миноры матрицы (задача из Винберга)

[Maddoggg]

Добрый вечер!
Тут не могу решить задачку из Винберга
Задача №1
Доказать, что если все угловые миноры матрицы $A$ отличны от нуля, то ее можно привести к треугольному виду, добавив к каждой строке линейную комбинацию предыдущих строк. Вывести отсюда, что $A$ единственным образом представляется в виде $A=UB$, где $U$- нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали, а $B$- верхняя треугольная матрица.

Никак не пойму, причем тут "угловые миноры отличны от нуля"
Пожалуйста, подскажите как начать.

[caxap]

Вы умеете решать системы методом Гаусса?

[Maddoggg]

Да, умею

[caxap]

Здесь почти то же самое. Сначала получите ноль во второй строке в первом столбце (учитывая условие задачи). И т. д.

[Maddoggg]

Я не пойму, почему здесь оговорили, что угловые миноры отличны от нуля? Это нужно как-то использовать?

[caxap]

А вы начните приводить к треугольному виду, там и условия появятся. Вы же знаете, что делить на ноль нельзя, к примеру?

-- 25 апр 2011, 19:40 --

По второй части: та матрица, что вы получите -- будет $B$. А $U$ -- это... вы знаете, что элементарное преобразование можно рассматривать как умножение на специальную матрицу? В Винберге это есть, кстати.

[Maddoggg]

Тут, кажется, если угловой минор равен $0$, то деление на $0$ получается.
А разве $U$ элементарная матрица?

[caxap]

Maddoggg в сообщении #438583 писал(а):

Тут, кажется, если угловой минор равен $0$, то деление на $0$ получается.

Да. А почему "кажется"? Вы возьмите матрицу в общем виде. И постройте алгоритм её приведения к треугольному виду согласно условию задачи. В нём будут деления и, следовательно, появятся условия на знаменатели. А неравенство нулю угловых миноров как раз и должно выполнение этих условий обеспечивать.

Maddoggg в сообщении #438583 писал(а):

А разве $U$ элементарная матрица?

Нет. Но каждое отдельное преобразование (прибавление строки умноженной на число) -- да. Вам нужно проверить, что их произведение...

[Maddoggg]

Да, там определенно есть деление на $0$, если миноры равны $0$. Просто это и так понятно.
Что их произведение есть $A$? (Вы же про произведение $U$ и $B$?)

[caxap]

Вам нужно показать, что $U$ -- нижняя треугольная. $U$ это произведение определённых элементарных преобразований.

[Maddoggg]

Кажется я понял. Только как бэ все это сейчас написать... Ну $U$-нижняя треугольная, потому как $A$-тоже нижняя треугольная

[caxap]

Не-не-не. Перечитайте всё, что выше было. $A$ -- это исходная матрица, она произвольна (с учётом ограничений на миноры). $B$ -- верхняя треугольная, то есть то, что вы получили после всех преобразований.

[Maddoggg]

Ой, я все спутал, вместо верхней треугольной писал нижняя треугольная.
Т.е. правильнее

Цитата:

$U$-верхняя треугольная, потому как потому как $A$-тоже верхняя треугольная

Но после перемножения у меня $A$-все равно треугольная (верхняя если $U$ стоит первым)

[caxap]

Перечитайте моё прошлое сообщение.

[Maddoggg]

Ой, я тут оказывается матрицы неправильно перемножал:) Да, теперь та же $A$, что до преобразования получается.
Спасибо за помощь!