Доказать интегрируемость g(f(x)) на отрезке

[lega4]

Известно, что $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$; $g(t)$ непрерывна там, где надо (На области значений $f(x)$). Надо доказать, что $g(f(x))$ будет интегрируема на $[a,b]$.
Подсказали, что это надо доказывать через критерий интегрируемости ($S-s<E$), используя равномерную непрерывность $g(t)$. Но до меня так и не доходит идея, как же это доказать. Подскажите, плз...

[caxap]

А вы знаете критерий Лебега?

[Dan B-Yallay]

сахар Вопрос скорее по интегралам Римана. Не зря требуется использовать равномерную непрерывность.

lega4 начните с определения интегрируемости.

[mihailm]

Рудин Основы матана

[ewert]

Речь шла о критерии Лебега именно для интеграла Римана.

На самом деле там нужна не равномерная непрерывность, а ограниченность $g$. А взяться ей неоткуда. Вот если потребовать непрерывности $g$ не только на самом множестве значений $f$, а на его замыкании -- тогда будет.

[lega4]

ewert g непрерывна там где надо, так что если нужна непрерывность на каком-нибудь отрезке типа $[inf(f(x)),sup(f(x))]$, то можно считать, что она есть.

ewert в сообщении #438318 писал(а):

На самом деле там нужна не равномерная непрерывность, а ограниченность $g$. А взяться ей неоткуда.

Вроде же есть теорема Вейерштрасса, о том, что непрерывная на отрезке функция ограничена на нем. Так что ограниченность есть)

Цитата:

А вы знаете критерий Лебега?

Рассказывали, но довольно вскользь, лучше, если использовать что-нибудь попроще.

Цитата:

lega4 начните с определения интегрируемости.

Существует предел интегральных сумм при максимальной длине куска разбиения, стремящегося к нулю... Никакого озарения в голову не приходит

[caxap]

lega4 в сообщении #438327 писал(а):

Рассказывали, но довольно вскользь

Ну если было, то грех не воспользоваться... Если не хотите, то вам уже подсказали учебник, где ваша задача приводится как теорема. Подсмотрите начало, а дальше сами. [Это очень продуктивный метод чтения книжек, я сам его недавно для себя открыл. Когда просто читаешь доказательство, оно из головы через день куда-то девается. А так прилипает.]

[ewert]

lega4 в сообщении #438327 писал(а):

Вроде же есть теорема Вейерштрасса, о том, что непрерывная на отрезке функция ограничена на нем. Так что ограниченность есть)

Есть, но только на компакте, т.е. (в данном случае) на ограниченном замкнутом множестве. Поэтому я и говорил именно о замыкании множества значений $f$. Фактически от функции $g$ потребовать надо, чтобы она доопределялась по непрерывности с множества значений $f$ на его замыкание. Или, что то же: $g$ должна быть непрерывной на множестве значений и в любой предельной точке этого множества должен существовать конечный предел $g$.

Да, нужна действительно равномерная непрерывность (на компакте она тоже есть). А критерия Лебега не нужно. Можно примерно так. Для каждого разбиения $\Delta$ ранга $\alpha$ обозначим через $l_\Delta(c)$ суммарную длину отрезков разбиения, на каждом из которых максимальный перепад функции $f$ превышает $c$, и пусть $l(\alpha,c)$ -- это супремум $l_\Delta(c)$ по всем разбиениям $\Delta$ ранга $\alpha$. При каждом, в т.ч. и сколь угодно малом $c$, функция $l(\alpha,c)$ стремится к нулю при $\alpha\to0$ (иначе функция $f$ оказалась бы не интегрируемой). Если теперь $\delta(\varepsilon)$ -- модуль непрерывности функции $g$, тогда разность верхних и нижних сумм Дарбу для $f(g(x))$ не превосходит $(b-a)\cdot\delta(c)+l(\alpha,c)\cdot M$, где $M$ -- это разность между максимальным и минимальным значениями функции $g$ вообще. Теперь по любому $\varepsilon>0$ надо выбрать сначала $c$ наcтолько малым, чтобы первой слагаемое оказалось меньше $\frac{\varepsilon}{2}$, а по нему уже $\alpha$ так, чтобы меньше $\frac{\varepsilon}{2}$ стало и второе слагаемое.

[lega4]

caxap

Цитата:

Ну если было, то грех не воспользоваться...

Хмм, кстати да, чет не задумывался об этом))

Цитата:

Если не хотите, то вам уже подсказали учебник, где ваша задача приводится как теорема

Спасибо, почитал, пописАл, вроде норм. Только такой момент не понял - почему дельта, которую мы получим по любому эпсилон из равномерной непрерывности, будет меньше этого эпсилон? По-моему, это не только не очевидно, но и на правду не похоже...

[ewert]

lega4 в сообщении #438352 писал(а):

почему дельта, которую мы получим по любому эпсилон из равномерной непрерывности, будет меньше этого эпсилон? По-моему, это не только не очевидно, но и на правду не похоже...

А это и не правда.

[lega4]

ewert Так а почему это используется в доказательстве?

(Оффтоп)

[mihailm]

Возьмите такое дельта не обращая внимание на подчеркнутое , а потом если не будет меньше эпсилон уменьшите до необходимого

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

$f(x)= \dfrac{1}{2\sqrt x}, \quad x \in [-1,1]$ - интегрируема (пусть и в несобственном смысле)
$g(x)\equiv 1$ - равномерно непрерывна, etc.
$\displaystyle\int_{-1}^1 g(f(x))dx = \ldots$