Линейные преобразования

[give_up]

Помогите решить пару задачек:
1) Линейное преобразование пространства матриц второго порядка определено формулой $\[\varphi (X) = AX - XA\]$, где $A$ - фиксированная матрица. Нужно найти его матрицу в стандартном базисе.
Если я правильно понял задание, то требуется найти некую матрицу $B$ данного линейного оператора. Помню, что ее можно найти из формулы: $\[B = (AX - XA){X^{ - 1}}\]$
Но матрица X вообще неизвестна, может оказаться вырожденной и обратить ее не удастся. Думаю что здесь нужен какой-то другой способ, тем более в ответе дана матрица размера 4-4, т.е. там написано:
Если
$\[A = \,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)\]$
,то
$\[B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{a_{12}}}&{ - {a_{21}}}&0\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}} - {a_{11}}}&0&{ - {a_{21}}}\\ { - {a_{12}}}&0&{{a_{11}} - {a_{22}}}&{{a_{12}}}\\ 0&{ - {a_{12}}}&{{a_{21}}}&0 \end{array}} \right)\,\,\]$

2)Нужно показать, что преобразование $\phi$ проектирования линейного пространства обладает свойством $\phi^2=\phi$

Тут у меня есть подозрение, что матрицу данного оператора можно записать в базисе из собственных векторов так, чтобы на диагонали оказались только нули и единицы, откуда и следует свойство $\phi^2=\phi$

[Kallikanzarid]

(Оффтоп)

А что такое порядок матрицы?

Попробуйте воспользоваться изоморфизмом $\mathrm{End}V \cong V \otimes V^*$.

Выберите в пространстве матриц базис $e_{11}, e_{12}, e_{21}, e_{22}$, состоящий, в вашем случае, из соответствующих матричных единиц. Затем запишите $B = B_i^j e_j \otimes e^i$; как обычно, подразумевается суммирование по $i$ и $j$ из индексирующего множества $\{11, 12, 21, 22\}$. Тогда получите

$$B(e_k) = B_k^j e_j = A e_k - e_k A,$$

где в правой части - обычные произведения матриц. Тогда $B_k^j = e^j(A e_k - e_k A)$, т.е. $B_k^j$ - $j$-я компонента выражения $A e_k - e_k A$. Должно получиться что-то, похожее на ответ.

P.S.: А откуда задача, с чем она связана?

[ewert]

give_up в сообщении #437931 писал(а):

Нужно показать, что преобразование $\phi$ проектирования линейного пространства обладает свойством $\phi^2=\phi$

Очень странный вопрос. Вообще-то это определение оператора проектирования.

А что касается первого задания -- то тупо в лоб. Например,

$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&0\\a_{21}&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\0&0\end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix}0&-a_{12}\\a_{21}&0\end{pmatrix}=0\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}-a_{12}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}+a_{21}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}+0\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}.$

Откуда сразу же первый столбец итоговой матрицы -- это $(0,-a_{12},a_{21},0)^T$. И т.д. В предложенном Вам ответе, правда, нумерация базисных матриц зачем-то идёт в другом порядке -- сначала вдоль столбцов и потом их перебором; ну, красиво жить не запретишь...

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #437937 писал(а):

Очень странный вопрос. Вообще-то это определение оператора проектирования.

Если речь идет об операторах вида $P: U \to V$, где $V$ - подпространство $U$, и $P|_V = 1_V$, то таки теорема, хоть и простейшая.

УПД: определения, данные мной и вами, эквивалентны. Если принять написанное мной выше за определение проектирование, то условие $P^2 = P$ будет легко выводимым критерием, так что возможно, что ОП работает как раз с таким определением.

[give_up]

Kallikanzarid
Порядок квадратной матрицы - имеется в виду её размерность (кол-во строк, равное кол-ву столбцов).
Это задачи из сборника Беклемишевой по линейной алгебре из параграфа "Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейных преобразований"
ewert
То есть матрица любого оператора ортогонального проектирования по определению состоит из нулей и единиц на главной диагонали? Порылся я в учебниках, но там вообще не дается определение оператора ортогонального проектирования в линейном пространстве

[ewert]

give_up в сообщении #437960 писал(а):

То есть матрица любого оператора ортогонального проектирования по определению состоит из нулей и единиц на главной диагонали?

Разумеется -- если, конечно, в ортонормированном собственном базисе. А так -- нет, конечно; с какой стати.

Кроме того, до сих пор речь шла не об ортопроекторе, а о просто проекторе. Специально же ортопроекторы обычно определяются действительно иначе, и для них равенство квадрату -- это действительно свойство, но -- тривиальное, как ни определяй. Собственные числа тут, во всяком случае, не при чём.

[give_up]

Спасибо