Инвариантные формы

[Bulinator]

Читаю Желобенко, "Представления групп Ли", Глава 3, $\S 1$ п.1.7. Инвариантные формы.

Цитата:

Пусть $\pi_1,\pi_2$-представления алгебры Ли $g$ в пространствах $V_1,V_2$. Билинейная форма $\beta$ на $V_1\times V_2$ называется инвариантной относительно пары $\pi_1,\pi_2$ если
$\beta(\pi_1(y)x,z)+\beta(x,\pi_2(y)z)=0$ для всех $x,y,z\in g\qquad\qquad\qquad$ (1).

Рассмотрим первое слагаемое. В скобках стоит $\pi_1(y)x$. $\pi_1(y)$ - есть оператор, действующий в пространстве $V_1$. А как он действует на $x$(и действует ли вообще?) и как получившаяся штука уже действует на элементы пространства $V_1$? Вторая переменная $z$ тоже из $g$ и тоже мало связано с $V_2$.
Как понять?

[Leox]

А в чем проблема? $\pi_1(y)$ ето оператор в $V_1$, а $\pi_1(y)x$ ето результат действия етого оператора на вектор $x.$ Возможно, более корректно было писать $\pi_1(y)(x).$ Как именно он действует не столь важно, само действие определяется представлением $\pi_1$.

[Bulinator]

Leox в сообщении #437474 писал(а):

вектор $x.$

$x$ не вектор а элемент алгебры $g$. В том и проблема.

[Leox]

там просто опечатка.. Вот вам правильное определение, например в книге Наймарка, Теория представлений групп, http://reslib.com/book/Teoriya_predstavlenij_grupp

страница 378

[Bulinator]

Leox,
спасибо.

[Kallikanzarid]

Bulinator в сообщении #437515 писал(а):

$x$ не вектор а элемент алгебры $g$. В том и проблема.

Очевидно же, что $x \in V_1,\ z \in V_2$ :)