о корнях возмущенного многочлена

[voita]

Здравствуйте! пожалуйста, помогите разобраться или посоветуйте литературу, в которой может быть нечто подобное.

Дело вот в чем. Допустим, есть два многочлена с комплексными коэффициентами $P_n(x)$ и $P_{n-1}(x)$ степеней $n$ и $n-1$ соответственно. Все корни $P_n(x)$ лежат на некотором отрезке вещественной оси, расстояние между соседними мало (можно считать, что меньше некоторого $\varepsilon$), все корни простые.
Корни
$P_{n-1}(z)$ лежат на том же отрезке, причем по одному между соседними корнями $P_n(z)$ (то есть корни $P_n(z) и $P_{n-1}(z)$ чередуются).

Можно ли что-нибудь сказать о корнях $P_n(z)+c\cdot P_{n-1}(z)$,
где $c=const$?\\

Понятно, что корни полученного многочлена~--- аналитические функции от $c$ в некоторой окрестности точки $c=0$, и так как все корни $P_n(z)$ просты, то при малых $c$ возмущение корней будет по порядку величины равным
$|c|$. Далее, при $c\rightarrow\infty$ из торемы Руше следует, что $n-1$ корень нового многочлена будут стремиться соответственно к корням $P_{n-1}(z)$. Можно ли утверждать, что хотя бы $n-1$ корень нового многочлена
будет близок к отрезку, на котором расположены корни исходных многочленов, при всех $c$?

[voita]

Подскажите хотя бы литературу где что-то похожее может быть...

[Полосин]

Из условия сразу вытекает, что если принять старшие коэффициенты обоих многочленов равными единице, то коэффициенты обоих многочленов действительные.

Кое-что можно понять на простом примере $P_2(z)=z^2-\varepsilon^2$, $P_1(z)=z$.

Возможно, вам помогут теоремы Штурма о чередовании корней, изложенные, например, в книге Гантмахера "Теория матриц".