2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегральное уравнение - разность решений
Сообщение18.04.2011, 18:10 


26/12/08
1813
Лейден
Есть компакт $A\subset \mathbb{R}$. Пусть $A^*$ - тоже компакт, $A^*\subset\subset A$. Для липшицевой функции $\phi(x,y)$ имеем
$$
|f(x)|\leq c + \int\limits_{A^*}|f(x)|\phi(x,y)\,dy.
$$

Как найти оценку на $|f(x)|$ для всех $x$? Лемма Гронуолла не подходит, насколько я понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение - разность решений
Сообщение18.04.2011, 18:28 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Напишите полное условие задачи. Не забудьте про спектр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение - разность решений
Сообщение18.04.2011, 19:24 


26/12/08
1813
Лейден
Привожу полное условие. Дано компактное множество $E\subset \mathbb{R}$ и липшицева неотрицательная функция $\phi(x,y):E\times E\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ такая, что
$$
\int\limits_E\phi(x,y)\,dy = 1
$$
для всех $x$. Нужно найти наибольшее решение следующего уравнения
$$
u(x) = I_A(x)\int\limits_E u(y)\phi(x,y)\,dy.
$$
где $A\subset E$ - компакт.

Мне удалось показать, что если $A' = \{x\in A: u(x) = 1\}$, то наибольшее решение - это единственное решение данного уравнения
$$
u(x) = I_A(x)g'(x) + I_A(x)\int\limits_{A^*} u(y)\phi(x,y)\,dy,
$$
где $g'(x) = \int\limits_{A'}\phi(x,y)\,dy$ и $A^*$ - замыкание $A - A'$.

Дело в том, что а приори множество $A'$ очень сложно найти и вообще неизвестно, пусто оно или нет. Допустим, оно не пусто и я могу оценить его сверху, то есть построить $A''$ такое, что $A'\subset A''$, тогда $A^{**} $ - замыкание $A-A''$. Приближенное решение $v$ будет решением уравнения
$$
v(x) = I_A(x)g''(x) + I_A(x)\int\limits_{A^{**}} v(y)\phi(x,y)\,dy,
$$
где $g''(x) = \int\limits_{A''}\phi(x,y)\,dy$.

Разность этих решений, как несложно вычислить, удовлетворяет оценке
$$
|v(x) - u(x)| \leq C\lambda(A''-A')+\int\limits_{A^{**}}|v(y)-u(y)|\phi(x,y)\,dy.
$$
где $\lambda$ - мера Лебега.

Хотелось бы из этой оценки получить оценку на $|v-u|$ через $\lambda(A''-A')$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение - разность решений
Сообщение20.04.2011, 18:47 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Вопросы все же остаются. Что означает "наибольшее решение" уравнения? Ведь если $u$ - решение, то $cu$ - тоже решение для любой константы $c$, поскольку уравнение однородное. Кроме того, однородное уравнение может вообще не иметь нетривиальных решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральное уравнение - разность решений
Сообщение20.04.2011, 18:53 


26/12/08
1813
Лейден
Собственно, границы я уже нашел. Вопрос можно закрывать. Использовал то, что взял норму от обеих частей и интеграл в правой части оценил $\alpha\|v-u\|$, где $\alpha<1$ - долго расписывать, почему это верно. Так что задача решена.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group