@neo66: вообще да, но как упражнение нелишне посчитать это через символы Кристоффеля, заданные обычным для связности ЛЧ образом через производные метрики :)
@svv: соотношение

- это не аксиома, а критерий симметричности связности:
![$$T(X, Y) := \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X, Y] = 0$$ $$T(X, Y) := \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X, Y] = 0$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/0/880ec039f4d10cae82790e0817815a9c82.png)
(для базисных векторов
![$[\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}] = 0$ $[\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}] = 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/3/233f0e33fddfdce046e20e93e8afa48782.png)
). Связность Леви-Чивита, по определению, - это симметричная связность, параллельная метрике:

.
Связность на многообразии - это одно из основных дифференцирований на векторных полях. Она задается как билинейное отображение векторных полей,

-линейное о первому аргументу и являющееся аддитивным дифференцированием по второму:

Задание связности эквивалентно заданию параллельного переноса векторных полей.
Для подробностей можно почитать англовики, но лучше - учебник дифференциальной геометрии.