Скобка Ли

[maxmatem]

Вот возникла не большая проблема. Не получается доказать $\[ [XY] = \nabla _X Y - \nabla _Y X \] $ если векторные поля имеют вид $\[ X = \sum\limits_{}^{} {X^i \frac{\partial } {{\partial x^i }}} \]$ и $\[ Y = \sum\limits_{}^{} {Y^j \frac{\partial } {{\partial x^j }}} \]$

Итак вот пытаюсь вычислить
$\[ [XY](x^i ) = (X \circ Y)(x^i ) - (Y \circ X)(x^i ) = X(Y(x^i )) - Y(X(x^i )) = X(Y^i ) - Y(X^i ) = ... \] $
а дальше пока никак..

[Vince Diesel]

Вспомнить, как определяется правая часть и применить результат к $x^i$.

[maxmatem]

Vince Diesel
Т.е вы предлагаете записать операцию ковариантного дифференцирования в координатном виде ну сейчас попробую ....хотя это не так просто...ведь ковариантная производная тензорного поля выглядит ну скажем не очень просто, а для векторных полей тоже....

[svv]

Обозначим $\mathbf e_i = \frac {\partial}{\partial x^i}$.

$$\nabla _{\mathbf X}\,{\mathbf Y} = X^i \nabla _{\mathbf e_i}\,(Y^k \mathbf e_k) = X^i (\nabla _{\mathbf e_i} Y^k) \mathbf e_k + X^i Y^k \nabla _{\mathbf e_i}\,\mathbf e_k = X^i \left(\frac{\partial}{\partial x^i}Y^k \right) \frac{\partial}{\partial x^k} + X^i Y^k \nabla _{\mathbf e_i}\,\mathbf e_k$$

Аналогично $\nabla _{\mathbf Y}\,{\mathbf X}$ и вычесть.

$$\mathbf X \mathbf Y = X^i \frac {\partial}{\partial x^i} \left( Y^k \frac {\partial}{\partial x^k}\right)= X^i \left(\frac {\partial}{\partial x^i} Y^k \right) \frac {\partial}{\partial x^k}+X^i Y^k \frac {\partial}{\partial x^i} \frac {\partial}{\partial x^k}$$

Аналогично $\mathbf Y \mathbf X$ и вычесть.
Сравните обе разности.

[maxmatem]

svv
Я вас правильно понял, что вы используете правило Эйнштейна для суммирования в своих рассуждениях?
Кстати спасибо.

[svv]

Да, совершенно верно! По правде говоря, даже не задумываюсь об этом.

Ещё один момент. Для доказательства понадобится соотношение $\nabla _{\mathbf e_i}\,\mathbf e_k= \nabla _{\mathbf e_k}\,\mathbf e_i$, но оно ниоткуда не выводится. Оно является своего рода аксиомой. Если будет нужно, расскажу подробнее.

[Kallikanzarid]

Имеется ввиду связность Леви-Чивита?

[neo66]

maxmatem в сообщении #436784 писал(а):

Не получается доказать $\[ [XY] = \nabla _X Y - \nabla _Y X \] $ если векторные поля имеют вид $\[ X = \sum\limits_{}^{} {X^i \frac{\partial } {{\partial x^i }}} \]$ и $\[ Y = \sum\limits_{}^{} {Y^j \frac{\partial } {{\partial x^j }}} \]$

Здесь основная проблема состоит в осознании того, что требуется доказать. Все дело в том, как определяется связность $\nabla _X Y$ и где. Например, если это связность Леви-Чевиты на римановом многообразии, то доказывать ничего не надо - это входит в определение. Вообще же говоря, это равенство не выполняется и разность левой и правой частей называется тензором кручения.

[Kallikanzarid]

@neo66: вообще да, но как упражнение нелишне посчитать это через символы Кристоффеля, заданные обычным для связности ЛЧ образом через производные метрики :)

@svv: соотношение $\nabla_\frac{\partial}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial x^j} = \nabla_\frac{\partial}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial x^i}$ - это не аксиома, а критерий симметричности связности:

$$T(X, Y) := \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X, Y] = 0$$

(для базисных векторов $[\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}] = 0$). Связность Леви-Чивита, по определению, - это симметричная связность, параллельная метрике: $\nabla g = 0$.

Связность на многообразии - это одно из основных дифференцирований на векторных полях. Она задается как билинейное отображение векторных полей, $C^\infty(M)$-линейное о первому аргументу и являющееся аддитивным дифференцированием по второму:

$$\nabla: \mathfrak{X}(M) \otimes_\mathbb{R} \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M), \quad \nabla_{fX}Y = f \nabla_X Y , \quad \nabla_X (fY) = X(f)Y + f \nabla_X Y.$$

Задание связности эквивалентно заданию параллельного переноса векторных полей.
Для подробностей можно почитать англовики, но лучше - учебник дифференциальной геометрии.

[svv]

Kallikanzarid писал(а):

это не аксиома, а критерий симметричности связности

Ну, я примерно это и имел в виду. Сама по себе симметричность связности ниоткуда не следует, она может постулироваться или нет.

[maxmatem]

neo66
Да, речь идёт о римановой связности. Ясно что не для всех связностей имеет место данное равенство.

[neo66]

О какой из них? Связностей на римановом многоообразии не просто много, а очень много.

[maxmatem]

neo66
Леви-Чивита.( просто я привык, когда речь идёт о римановой связности, то имею ввиду связность Леви-Чивита.)

[neo66]

Ну, тогда и доказывать нечего, как я уже выше говорил.