Точка пересечения медиан треугольника...

[AchilleS]

Здравствуйте! У меня вопрос: почему точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести?? Заранее спасибо!

[RIP]

Если в вершины треугольника поместить материальные точки массой 1 каждая, то центр тяжести системы из этих трех точек окажется аккурат в точке пересечения медиан.
P.S. Здравствуйте!

[AchilleS]

Почему? )) В этом - то и весь вопрос!

[Someone]

А также если сделать тонкую однородную треугольную пластину, то её центр тяжести совпадёт с точкой пересечения медиан.

А почему - вспомните, как находится центр тяжести системы материальных точек.

[AchilleS]

Я все это понимаю, но есть ли объяснение этого факта?

Добавлено спустя 2 минуты 42 секунды:

Someone А где он находится? Я об этом ничего не слышал (

[RIP]

Ну это смотря как определять центр тяжести. Если по формуле

$$\mathbf{r}=\frac{\sum_{k=1}^nm_k\mathbf{r}_k}{\sum_{k=1}^nm_k},$$

то это доказывается в школе.
Другого определения центра масс я не знаю. Это вопрос, скорее, к физикам.

[Someone]

То, что я дальше пишу, не является строгим доказательством. Это скорее некоторое "наглядное" объяснение, почему центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения медиан.

1. Пусть в каждой из вершин треугольника расположена единичная масса. Центр тяжести этих трёх масс можно найти так. Сначала возьмём лбюые две массы. Центр тяжести этих двух масс совпадает с серединой соединяющей их стороны треугольника. Если мы заменим эти две массы суммарной массой, расположенной в их центре тяжести, то центр тяжести всей системы не изменится. Добавляя массу, расположенную в третьей вершине, приходим к выводу, что центр тяжести всех трёх масс находится на отрезке, соединяющем третью вершину с центром тяжести двух первых масс, то есть, с серединой стороны, то есть, на медиане. Таким же образом, взяв другую пару масс, приходим к выводу, что центр тяжести лежит и на другой медиане. Следовательно, он совпадает с точкой пересечения медиан.

2. Рассмотрим тонкую однородную пластину. Подвесим её за одну из вершин. Устойчивым будет такое положение пластины, при котором её центр тяжести находится ниже всего, то есть, на вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса. Легко убедиться, что это будет в том случае, когда эта вертикальная прямая совпадает с медианой, проходящей через точку подвеса. В самом деле, представим себе, что треугольник состоит из "бесконечно тонких" слоёв, параллельных той стороне треугольника, которая не проходит через точку подвеса. Медиана проходит через центр тяжести каждого из этих слоёв, поэтому, если эта медиана совпадает с вертикальной прямой, то центр тяжести каждого из этих отрезков занимает наиболее низкое положение, и такое положение является устойчивым. Напротив, если медиана отклонена от вертикали, то центры тяжести всех слоёв расположены не в самом низком положении, и треугольник будет вращаться. Таким образом, центр тяжести треугольной пластины располагается на медиане, проходящей через точку подвеса. Взяв в качестве точки подвеса другую вершину, получим, что центр тяжести расположен и на другой медиане. Поэтому он расположен в точке пересечения медиан.

Аналогично можно было бы рассуждать и в первом случае.

[CrazyArcher]

@Someone: Я аплодирую вашему педагогическому таланту
Можно дать еще одно объяснение, с помощью пропорций, но это в принципе будет вариант 1-го объяснения от Someone.

[sexstant]

Если кратко, то причина этому факту следующая формула
$\sin x = \sin (\pi-x)$

Теперь не кратко
1. Покажем, что для треугольника центр масс (инерции) совпадает с точкой пересечения медиан.
Пусть в треугольнике $\triangle ABC $ из вершина $ A $ провели медиану $ m_A $ . Треугольник разбился на два разных треугольника с равными площадями (см. упомянутую формулу ) . Значит центр масс треугольника $\triangle ABC $ лежит где то на медиане $ m_A $ (следствие определения центра масс). Проделав такую же операцию с другой вершиной мы получим в точке пересечения этих двух медиан центр масс. Этого достаточно (для определения точки достаточно двух прямых). Ну а поскольку центр масс один, то третья медиана просто обязана пересечь этот центр масс.
2. В однородном поле тяжести центр масс совпадает с центром тяжести.
3. Отсюда и стали говорить, что центр пересечения медиан треугольника называется центром тяжести.

А всему причина та формула приведения синуса

[Lion]

Кстати, есть две забавные задачи на ту же тему.
1. Найдите центр масс физического объекта в виде треугольника, образованного тремя однородными стержнями одинаковой плотности, и постройте эту точку геометрически.
2. Постройте геометрически центр масс однородной пластины четырехугольной формы и найдите, при каких условиях он совпадает с центром масс системы четырех точек, образующих четырехугольник, равный первому.

[AchilleS]

Спасибо!!!