nnosipovНе встречалось ли Вам раньше что-нибудь подобное?
К счастью для моей психики, не встречалось.

Все эти суммы сумм произведений сумм и индексы индексов весьма неблагоприятным образом воздействуют на душевное равновесие...
А если серьезно, то впервые нечто подобное я увидел только вчера вечером, когда натолкнулся на эту тему. Ответ интуиция подсказала довольно быстро, а вот решение родилось только сегодня. Спасибо Вам за приятную задачку!
Кстати, надо отметить, что требование положительности

является чересчур строгим. Некоторые из них, в принципе, могут быть и отрицательными (все тоже могут, но это неинтересно). Надо только следить, чтобы

для всех

,

. И тут встает вопрос: можно ли подобрать такие целые

(вещественные наверняка можно), некоторые из которых будут отрицательными, и не забыть при этом про то, что ряд

должен сходиться.