Интегральное уравнение - разность решений

[Gortaur]

Есть компакт $A\subset \mathbb{R}$. Пусть $A^*$ - тоже компакт, $A^*\subset\subset A$. Для липшицевой функции $\phi(x,y)$ имеем

$$ |f(x)|\leq c + \int\limits_{A^*}|f(x)|\phi(x,y)\,dy. $$

Как найти оценку на $|f(x)|$ для всех $x$? Лемма Гронуолла не подходит, насколько я понимаю.

[Полосин]

Напишите полное условие задачи. Не забудьте про спектр.

[Gortaur]

Привожу полное условие. Дано компактное множество $E\subset \mathbb{R}$ и липшицева неотрицательная функция $\phi(x,y):E\times E\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ такая, что

$$ \int\limits_E\phi(x,y)\,dy = 1 $$

для всех $x$. Нужно найти наибольшее решение следующего уравнения

$$ u(x) = I_A(x)\int\limits_E u(y)\phi(x,y)\,dy. $$

где $A\subset E$ - компакт.

Мне удалось показать, что если $A' = \{x\in A: u(x) = 1\}$, то наибольшее решение - это единственное решение данного уравнения

$$ u(x) = I_A(x)g'(x) + I_A(x)\int\limits_{A^*} u(y)\phi(x,y)\,dy, $$

где $g'(x) = \int\limits_{A'}\phi(x,y)\,dy$ и $A^*$ - замыкание $A - A'$.

Дело в том, что а приори множество $A'$ очень сложно найти и вообще неизвестно, пусто оно или нет. Допустим, оно не пусто и я могу оценить его сверху, то есть построить $A''$ такое, что $A'\subset A''$, тогда $A^{**} $ - замыкание $A-A''$. Приближенное решение $v$ будет решением уравнения

$$ v(x) = I_A(x)g''(x) + I_A(x)\int\limits_{A^{**}} v(y)\phi(x,y)\,dy, $$

где $g''(x) = \int\limits_{A''}\phi(x,y)\,dy$.

Разность этих решений, как несложно вычислить, удовлетворяет оценке

$$ |v(x) - u(x)| \leq C\lambda(A''-A')+\int\limits_{A^{**}}|v(y)-u(y)|\phi(x,y)\,dy. $$

где $\lambda$ - мера Лебега.

Хотелось бы из этой оценки получить оценку на $|v-u|$ через $\lambda(A''-A')$.

[Полосин]

Вопросы все же остаются. Что означает "наибольшее решение" уравнения? Ведь если $u$ - решение, то $cu$ - тоже решение для любой константы $c$, поскольку уравнение однородное. Кроме того, однородное уравнение может вообще не иметь нетривиальных решений.

[Gortaur]

Собственно, границы я уже нашел. Вопрос можно закрывать. Использовал то, что взял норму от обеих частей и интеграл в правой части оценил $\alpha\|v-u\|$, где $\alpha<1$ - долго расписывать, почему это верно. Так что задача решена.