2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 09:00 
Аватара пользователя


13/10/07
744
Роман/София, България
It is given an inscribed quadrilateral $ABCD$. $P$ is the intersection point of the diagonals. The circumference of the $\Delta CDP$ intersects the sides $AD$ and $BC$ at the points $M$ and $N$ respectively. The circumferences of the $\Delta AMP$ and $\Delta BNP$ intersects again at the point $Q$. Prove that $PQ \bot AB$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 09:09 


14/04/11
33
Show the picture, please.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 09:44 
Аватара пользователя


13/10/07
744
Роман/София, България
You can see the picture here. It is with no good quality but I think now the things are more clear.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... &mode=view

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 10:42 


14/04/11
33
I have bad relationships with geometry, but I think that here we must apply the inversion. You can of course somehow different, but it's the first thing that comes to mind.
P. S. And you speak in Russian / Ukrainian / Belarussian language, so will be easier to communicate? I understand English, but grammar is awful. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 10:48 
Аватара пользователя


13/10/07
744
Роман/София, България

(Оффтоп)

I learned Russian for 8 years at school and it is similar to Bulgarian. I understand almost everything without using dictionary but my grammar is awful. Every day I read software development books written in English for at least 8 hours. It is the reason to use it most frequently.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 10:54 
Заслуженный участник


20/12/10
7309
ins- в сообщении #435744 писал(а):
It is given an inscribed quadrilateral $ABCD$. $P$ is the intersection point of the diagonals. The circumference of the $\Delta CDP$ intersects the sides $AD$ and $BC$ at the points $M$ and $N$ respectively. The circumferences of the $\Delta AMP$ and $\Delta BNP$ intersects again at the point $Q$. Prove that $PQ \bot AB$.


Решение для ленивых: взять да и посчитать (в комплексных числах, например). Польза от такого решения всё же есть --- можно лишний раз поупражняться в алгебре комплексных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 11:01 
Аватара пользователя


13/10/07
744
Роман/София, България
Every solution have a sence. Some calculations can be beautiful in their own way.A problem I posted here was solved with trigonometry in extremely beautiful way.
If you have time - can you post your solution?

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 11:05 
Аватара пользователя


02/03/08
174
Из рая.
Generally, $Q$- orthocenter $\triangle ABP$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 11:14 


14/04/11
33
nnosipov в сообщении #435782 писал(а):
Решение для ленивых: взять да и посчитать (в комплексных числах, например). Польза от такого решения всё же есть --- можно лишний раз поупражняться в алгебре комплексных чисел.

Коплексная геометрия, координатный метод придумали для компьютеров, решать эту задачу с помощью чего-либо из вышеперечисленного считаю самоубийством... :plusomet:
Dimoniada, why?

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 11:25 
Аватара пользователя


02/03/08
174
Из рая.
Решение длинное (отмечаем много равных углов), но прозрачное. По ходу решения доказываем, что $PM=PN$, что окружности $(APM)$ и $(BPN)$ равны. В конце приходим к $\triangle ABP$ в котором оказывается $\angle PBQ = \angle PAQ$, $\angle BPQ = \angle BAQ$ и $\angle APQ = \angle ABQ$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 11:42 


14/04/11
33
А, ну тогда и всё, рассматриваем маленький (по идее прямоуг.) треугольник, там и получается, что там прямой угол. Ура! :-)
Отсалось подробнее расписать, как получилось вышенаписанное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 13:27 
Заслуженный участник


20/12/10
7309
w0robey в сообщении #435792 писал(а):
Коплексная геометрия, координатный метод придумали для компьютеров, решать эту задачу с помощью чего-либо из вышеперечисленного считаю самоубийством... :plusomet:


Надеюсь, это Вы не в меня.

-- Вс апр 17, 2011 17:29:04 --

ins- в сообщении #435787 писал(а):
Every solution have a sence. Some calculations can be beautiful in their own way.A problem I posted here was solved with trigonometry in extremely beautiful way.
If you have time - can you post your solution?


Ok, немного попозже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 13:40 
Аватара пользователя


02/03/08
174
Из рая.
Следуя обозначениям рис. $ins-$,
$\angle MDP=\angle NCP$ откуда в окружности $(DPC)$ имеем $MP=PN$. На эти отрезки опираются углы $\angle MAP=\angle PBN$ $\Rightarrow$ радиусы окр. $(MAP)$ и $(NBP)$ равны. У последних $PQ$ - общая хорда $\Rightarrow$ $\angle PAQ=\angle PBQ$ (точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $PQ$). Далее $\angle PAQ+ \angle QAB= \angle PAB=\angle PDC=\angle PNB= \angle PBQ+ \angle QPB$, значит $\angle QPB= \angle QAB$, аналогично $\angle QPA= \angle QBA$. Тогда $Q$- ортоцентр $\triangle ABP$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 13:56 
Аватара пользователя


13/10/07
744
Роман/София, България
Thank you for the short and elegant solution dear Dimoniada. It is not the best problem but it is not also the worst :-) . When I have more time I'll try to invent something better.
Just a remark: There can be discovered many statements with concyclic points where circumferences ot the triangles ABP, BCP, CDP, DAP are involved but I didn't like them very much it is the reason I didn't post them.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 14:52 
Заслуженный участник


20/12/10
7309
Вот вычисления (в обозначениях ins-). Пусть $A=z_1$, $B=z_2$, $C=z_3$, $D=z_4$, где $z_i$ --- комплексные числа, по модулю равные единице. Тогда
$$
P={\frac {z_{{1}}z_{{3}}z_{{2}}+z_{{1}}z_{{3}}z_{{4}}-z_{{2}}z_{{4}}z_{{
1}}-z_{{2}}z_{{4}}z_{{3}}}{z_{{1}}z_{{3}}-z_{{2}}z_{{4}}}}, \quad
M={\frac {z_{{1}}z_{{3}}z_{{4}}-z_{{4}}{z_{{1}}}^{2}-z_{{2}}z_{{4}}z_{{3
}}+{z_{{1}}}^{2}z_{{3}}}{z_{{1}}z_{{3}}-z_{{2}}z_{{4}}}}
$$
$$
N={\frac {z_{{1}}z_{{3}}z_{{4}}-z_{{2}}z_{{4}}z_{{3}}+z_{{3}}{z_{{2}}}^{
2}-{z_{{2}}}^{2}z_{{4}}}{z_{{1}}z_{{3}}-z_{{2}}z_{{4}}}}, \quad
Q={\frac {{z_{{1}}}^{2}z_{{3}}+z_{{1}}z_{{3}}z_{{4}}-{z_{{2}}}^{2}z_{{4}
}-z_{{2}}z_{{4}}z_{{3}}}{z_{{1}}z_{{3}}-z_{{2}}z_{{4}}}}
$$
А далее следует механически проверить, что $Q$ --- ортоцентр треугольника $ABP$.

Это решение, конечно, никакой не beautiful way и вообще никакой не way, если речь идёт о решении олимпиадной задачи. Но если есть необходимость в проверке какой-нибудь элементарно-геометрической гипотезы, то этот путь может оказаться единственным реально возможным. Так обстоит дело, например, с гипотезой Заславского о четырёхугольниках Брокара (погуглите) --- чисто геометрического её доказательства так пока и не нашли, а вычислительное не сложнее того, что я привёл выше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: sergey1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group