2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 09:00 
Аватара пользователя


13/10/07
744
Роман/София, България
It is given an inscribed quadrilateral $ABCD$. $P$ is the intersection point of the diagonals. The circumference of the $\Delta CDP$ intersects the sides $AD$ and $BC$ at the points $M$ and $N$ respectively. The circumferences of the $\Delta AMP$ and $\Delta BNP$ intersects again at the point $Q$. Prove that $PQ \bot AB$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 09:09 


14/04/11
33
Show the picture, please.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 09:44 
Аватара пользователя


13/10/07
744
Роман/София, България
You can see the picture here. It is with no good quality but I think now the things are more clear.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... &mode=view

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 10:42 


14/04/11
33
I have bad relationships with geometry, but I think that here we must apply the inversion. You can of course somehow different, but it's the first thing that comes to mind.
P. S. And you speak in Russian / Ukrainian / Belarussian language, so will be easier to communicate? I understand English, but grammar is awful. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 10:48 
Аватара пользователя


13/10/07
744
Роман/София, България

(Оффтоп)

I learned Russian for 8 years at school and it is similar to Bulgarian. I understand almost everything without using dictionary but my grammar is awful. Every day I read software development books written in English for at least 8 hours. It is the reason to use it most frequently.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 10:54 
Заслуженный участник


20/12/10
7309
ins- в сообщении #435744 писал(а):
It is given an inscribed quadrilateral $ABCD$. $P$ is the intersection point of the diagonals. The circumference of the $\Delta CDP$ intersects the sides $AD$ and $BC$ at the points $M$ and $N$ respectively. The circumferences of the $\Delta AMP$ and $\Delta BNP$ intersects again at the point $Q$. Prove that $PQ \bot AB$.


Решение для ленивых: взять да и посчитать (в комплексных числах, например). Польза от такого решения всё же есть --- можно лишний раз поупражняться в алгебре комплексных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 11:01 
Аватара пользователя


13/10/07
744
Роман/София, България
Every solution have a sence. Some calculations can be beautiful in their own way.A problem I posted here was solved with trigonometry in extremely beautiful way.
If you have time - can you post your solution?

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 11:05 
Аватара пользователя


02/03/08
174
Из рая.
Generally, $Q$- orthocenter $\triangle ABP$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 11:14 


14/04/11
33
nnosipov в сообщении #435782 писал(а):
Решение для ленивых: взять да и посчитать (в комплексных числах, например). Польза от такого решения всё же есть --- можно лишний раз поупражняться в алгебре комплексных чисел.

Коплексная геометрия, координатный метод придумали для компьютеров, решать эту задачу с помощью чего-либо из вышеперечисленного считаю самоубийством... :plusomet:
Dimoniada, why?

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 11:25 
Аватара пользователя


02/03/08
174
Из рая.
Решение длинное (отмечаем много равных углов), но прозрачное. По ходу решения доказываем, что $PM=PN$, что окружности $(APM)$ и $(BPN)$ равны. В конце приходим к $\triangle ABP$ в котором оказывается $\angle PBQ = \angle PAQ$, $\angle BPQ = \angle BAQ$ и $\angle APQ = \angle ABQ$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 11:42 


14/04/11
33
А, ну тогда и всё, рассматриваем маленький (по идее прямоуг.) треугольник, там и получается, что там прямой угол. Ура! :-)
Отсалось подробнее расписать, как получилось вышенаписанное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 13:27 
Заслуженный участник


20/12/10
7309
w0robey в сообщении #435792 писал(а):
Коплексная геометрия, координатный метод придумали для компьютеров, решать эту задачу с помощью чего-либо из вышеперечисленного считаю самоубийством... :plusomet:


Надеюсь, это Вы не в меня.

-- Вс апр 17, 2011 17:29:04 --

ins- в сообщении #435787 писал(а):
Every solution have a sence. Some calculations can be beautiful in their own way.A problem I posted here was solved with trigonometry in extremely beautiful way.
If you have time - can you post your solution?


Ok, немного попозже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 13:40 
Аватара пользователя


02/03/08
174
Из рая.
Следуя обозначениям рис. $ins-$,
$\angle MDP=\angle NCP$ откуда в окружности $(DPC)$ имеем $MP=PN$. На эти отрезки опираются углы $\angle MAP=\angle PBN$ $\Rightarrow$ радиусы окр. $(MAP)$ и $(NBP)$ равны. У последних $PQ$ - общая хорда $\Rightarrow$ $\angle PAQ=\angle PBQ$ (точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $PQ$). Далее $\angle PAQ+ \angle QAB= \angle PAB=\angle PDC=\angle PNB= \angle PBQ+ \angle QPB$, значит $\angle QPB= \angle QAB$, аналогично $\angle QPA= \angle QBA$. Тогда $Q$- ортоцентр $\triangle ABP$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 13:56 
Аватара пользователя


13/10/07
744
Роман/София, България
Thank you for the short and elegant solution dear Dimoniada. It is not the best problem but it is not also the worst :-) . When I have more time I'll try to invent something better.
Just a remark: There can be discovered many statements with concyclic points where circumferences ot the triangles ABP, BCP, CDP, DAP are involved but I didn't like them very much it is the reason I didn't post them.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral and perpendicular
Сообщение17.04.2011, 14:52 
Заслуженный участник


20/12/10
7309
Вот вычисления (в обозначениях ins-). Пусть $A=z_1$, $B=z_2$, $C=z_3$, $D=z_4$, где $z_i$ --- комплексные числа, по модулю равные единице. Тогда
$$
P={\frac {z_{{1}}z_{{3}}z_{{2}}+z_{{1}}z_{{3}}z_{{4}}-z_{{2}}z_{{4}}z_{{
1}}-z_{{2}}z_{{4}}z_{{3}}}{z_{{1}}z_{{3}}-z_{{2}}z_{{4}}}}, \quad
M={\frac {z_{{1}}z_{{3}}z_{{4}}-z_{{4}}{z_{{1}}}^{2}-z_{{2}}z_{{4}}z_{{3
}}+{z_{{1}}}^{2}z_{{3}}}{z_{{1}}z_{{3}}-z_{{2}}z_{{4}}}}
$$
$$
N={\frac {z_{{1}}z_{{3}}z_{{4}}-z_{{2}}z_{{4}}z_{{3}}+z_{{3}}{z_{{2}}}^{
2}-{z_{{2}}}^{2}z_{{4}}}{z_{{1}}z_{{3}}-z_{{2}}z_{{4}}}}, \quad
Q={\frac {{z_{{1}}}^{2}z_{{3}}+z_{{1}}z_{{3}}z_{{4}}-{z_{{2}}}^{2}z_{{4}
}-z_{{2}}z_{{4}}z_{{3}}}{z_{{1}}z_{{3}}-z_{{2}}z_{{4}}}}
$$
А далее следует механически проверить, что $Q$ --- ортоцентр треугольника $ABP$.

Это решение, конечно, никакой не beautiful way и вообще никакой не way, если речь идёт о решении олимпиадной задачи. Но если есть необходимость в проверке какой-нибудь элементарно-геометрической гипотезы, то этот путь может оказаться единственным реально возможным. Так обстоит дело, например, с гипотезой Заславского о четырёхугольниках Брокара (погуглите) --- чисто геометрического её доказательства так пока и не нашли, а вычислительное не сложнее того, что я привёл выше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group